Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática o cuadrada es una ecuación que tiene un gran exponente de incógnitas y que una vez simplificada. En esta ecuación, "x" es una variable o desconocida, y las letras a, b y c son factores, como sigue Cualquier valor que no sea a = 0.

La tríada cuadrada de variables x se llama polinomio.

ax 2 + bx + c , (1)
ax 2 + bx + c = 0,(2)

La ecuación cuadrática completa para la variable x es la siguiente

ax 2 + bx + c = 0,

donde a, b y c son cualquier número que no sea el verdadero número cero.

Una ecuación cuadrática incompleta es un tipo de ecuación cuadrática del siguiente tipo

Formula General

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas

Resolver Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Usemos un ejemplo para mostrar cómo resolver una ecuación cuadrática incompleta.

Ecuaciones Cuadráticas Ejemplos

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

5 x 2 = 0.

Solución.

Respuesta: 0.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación.

2 + 3 x = 0. (3)

Solución. Usando la variable x en los paréntesis a la izquierda de la Ecuación (3), reescribimos la ecuación como sigue

x (2 x + 3) = 0.(4)

El producto de los dos factores es cero sólo si el primer factor es cero o el segundo factor es cero, por lo que de la ecuación (4) obtenemos lo siguiente:

Ejemplo 4. Solución de ecuaciones

3 x 2 + 11 = 0.(cinco)

Solución. Dado que el lado izquierdo de la ecuación (5) es positivo para todos los valores de la variable x y el lado derecho es igual a cero, no hay solución para la ecuación.

 Respuesta : Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta.

Seleccionar un Cuadrado Completo

La elección del cuadrado perfecto se llama la expresión de la forma de la tríada cuadrada (1).

Discriminante

El valor discriminante de la ecuación del trinomio cuadrado (1) es un número representado por la letra D y se calcula por la ecuación.

D = b 2 – 4 ac .(7)

La identificación de las ecuaciones de la triada al cuadrado juega un papel importante y las diversas propiedades de las ecuaciones de la triada al cuadrado dependen de sus signos.

Usando la identificación, la expresión. (6) puede ser reescrito de la siguiente manera.

Factorizar un Trinomio Cuadrado

Para D < 0, la ecuación entre paréntesis en la ecuación (8) es la suma de los cuadrados y los trinomios al cuadrado no pueden ser factorizados.

Precaución. Incluso para D < 0, la tríada cuadrada puede descomponerse en factores lineales, pero sólo en el campo de los números complejos, y este material está más allá del rango de grado.

Fórmula para las Raíces de una Ecuación Cuadrática

Las ecuaciones (9) y (10) crean la ecuación raíz de la ecuación cuadrática.

De hecho, para D = 0, la ecuación (9) arroja lo siguiente

Por lo tanto, si D = 0, la ecuación (1) tiene una sola raíz y se calcula por esta formula:

Si D> 0, de la ecuación (10):.

Así, si D> 0, la ecuación (1) tiene dos raíces diferentes y se calcula por

Observación 1. Las ecuaciones (12) y (13) suelen combinarse en una sola ecuación que se escribe como sigue.

Observación 2. Para D = 0, las ecuaciones (12) y (13) son ambas ecuaciones (11). Así, para D = 0, la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces coincidentes calculadas por la ecuación (11), y la propia ecuación (11) se reescribe a menudo.

Nota 3. De acuerdo con el material mostrado en "Raíces de Polinomios Múltiples", la raíz (11) es la raíz de la ecuación (1) de la multiplicidad 2.

Si D = 0, la descomposición del trinomio cuadrado en el primer factor (9) puede reescribirse de manera diferente usando la Ecuación (9). (15).

ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) 2 .(dieciséis)

Si D> 0, la descomposición de la tríada cuadrada en el primer factor (10) usando las ecuaciones (12) y (13) puede reescribirse de la siguiente manera

ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ). (17)

Observación 4. si D = 0, las raíces x1 y x2 son idénticas y la ecuación (17) es de la forma (16).

Teoremas de Vieta Directo y Inverso

Al ampliar los paréntesis e incluir términos similares a la derecha de la fórmula

(17), obtenemos la igualdadax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) = a [ 2 – ( 1 + 2 ) x + 2 ] = a x 2 – a ( 1 + 2 ) x + una x 2 .

Por lo tanto, como la ecuación (17) es un signo igual, los coeficientes del polinomio son

ax 2 + bx + c

Igual al correspondiente coeficiente de

una x 2 – una ( 1 + 2 ) x + una x 2 .

Por lo tanto, la igualdad

La ecuación (18) constituye el contenido del Teorema de Estado Sólido (Teorema Directo de Estado Sólido).

En otras palabras, el teorema directo del estado sólido puede formularse de la siguiente manera

 “Si los números   1  y   x 2  son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces satisfacen las igualdades (18)”.

El teorema inverso del estado sólido puede formularse de la siguiente manera:

“Si los números   1  y   x 2  son soluciones del sistema de ecuaciones (18), entonces son las raíces de la ecuación cuadrática (1)”.

Si desea familiarizarse con ejemplos de cómo resolver diversos problemas relacionados con las "ecuaciones cuadráticas", le recomendamos el tutorial "Trinomios cuadráticos".

La solución de las formas parabólicas y las desigualdades cuadradas se encuentra en la sección "Parábolas en el plano de coordenadas". El libro de referencia "Resolviendo Desigualdades Cuadradas".

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