Vectores – Concepto de Vector

Un vector es un segmento direccional, es decir, un segmento de una longitud y dirección determinadas. Gráficamente, un vector se representa como un segmento de una línea dirigida de cierta longitud.

Considere dos puntos cualquiera. Conecta estos puntos con flechas (Figura 1).

El punto donde aparece la flecha se llama el inicio del vector. El punto con la flecha se llama el final del vector.

Para distinguir un vector de un segmento que termina en el mismo punto, utilizamos el concepto de vector de notación (Figura 2) o el concepto de vector (Figura 3).

Se puede utilizar el concepto vectorial (Figura 4) o las especificaciones del concepto vectorial (Figura 5) para los vectores.

Si dos puntos (el comienzo y el final de un vector) coinciden, se dice que estos puntos definen el vector cero.

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Coordenadas Vectoriales

Dada la noción de un vector arbitrario, asumimos que el sistema de coordenadas cartesianas Oxyz está dado en el espacio (Figura 6).

Si en el sistema de coordenadas Oxyz los puntos A y B tienen coordenadas
A = ( a ₁ ; a ₂ ; a ₃ ) y B = ( b ₁ ; b ₂ ; b ₃ ),
(1)

Esta definición suele formularse de la siguiente manera. "Para encontrar las coordenadas de un vector, hay que restar las coordenadas del comienzo del vector de las coordenadas del final del mismo".

(Nota). Considerando los vectores en un plano de coordenadas dado, la tercera coordenada no existe en las ecuaciones (1) y (2). Considerando los vectores en las líneas de coordenadas, en la Ec. (1) y (2), sólo la primera coordenada permanece en las ecuaciones (1) y (2).

Longitud del Vector

La longitud de cualquier vector (módulo) vectorial es la longitud del segmento AB

Longitud del vector AB . Las coordenadas son las siguientes

Este hecho se formula a menudo como "la longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas".

Precaución. Considerando los vectores en el plano de coordenadas, la ecuación (3) es la siguiente

Está de acuerdo con la ecuación que nos permite encontrar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas.

Considerando los vectores en la línea de coordenadas, las ecuaciones (3) y (4) son las siguientes

Igualdad de Vectores

Los vectores cuyos vectores están en una línea recta o paralela se llaman vectores en la misma línea.

Un vector es un vector en la misma línea sólo si las coordenadas son proporcionales.

En otras palabras, los vectores son iguales

una ₁ = tb ₁ , una ₂ = tb ₂ , una ₃ = tb ₃ .

Como se muestra en la figura 7, los dos vectores se denominan en la misma dirección, primero en la misma línea y luego orientados.

Es decir,cuando se combinan los orígenes de estos vectores, los vectores son lineales, pero los vectores apuntan en una dirección (los extremos de los vectores son como rayos de luz).

Figura 7

Dos vectores se denominan direcciones opuestas cuando están orientados en el tercero, cuando son paralelos en el segundo y cuando están orientados en el tercero, como se muestra en la figura 8.

En otras palabras,cuando se combinan los orígenes de estos vectores, están en la misma línea recta pero en direcciones diferentes (los extremos de los vectores están en lados opuestos del origen común).

Figura 8

Definición. Dos vectores son iguales: uno si están en la misma dirección y el otro si tienen la misma longitud.

Es decir, si combinas los inicios de estos vectores, sus finales coincidirán.

Observación. Dos vectores son iguales solo si sus conjuntos de coordenadas son las mismas.

Multiplicar un vector por un Número

En otras palabras, si se multiplica un vector por un número,todas las coordenadas de ese vector se multiplicarán por este número.

Suma y Resta de Vectores

Con el fin de encontrar la suma de dos vectores arbitrarios

es necesario combinar el comienzo del vector

con el extremo del vector

. Entonces, el comienzo del vector

será el comienzo del vector

y el final del vector

será el final del vector

(Fig. 9).

Figura 9

Este hecho puede formularse a menudo de la siguiente manera. "Cuando añades un vector, lo que se añade son sus coordenadas".

Figura 10

Además, si

Este hecho puede formularse a menudo de la siguiente manera. Para encontrar las coordenadas de un vector. a-b , es necesario a Restar las coordenadas del vector b.

Producto escalar de Vectores

Definición. Producto interno del vector a y b se denota (a, b) Como un número igual al producto de las longitudes de los vectores a y b Multiplique el coseno del ángulo entre estos vectores (Figura 11).

Esto puede formularse como "El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto interno del propio vector".

Corolario 1. El producto interno de dos vectores será cero sólo si estos vectores están en ángulo recto.

Aprobación. Si los vectores tienen coordenadas en el sistema de coordenadas cartesianas de coordenadas cartesianas ortogonales

Es decir, en el sistema de coordenadas cartesianas, el producto interno de los dos vectores es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de estos vectores.

Precaución. Conociendo las coordenadas de los vectores (6) en las ecuaciones (3), (5) y (7), podemos obtener los cosenos de los ángulos entre los vectores a y b.