Teorema de Moivre y explicación sencilla

Explicación del teorema de Moivre

Este artículo encuentra información sobre el Teorema de Moivre, en el cual se aplican algunos procesos fundamentales y básicos del álgebra, como la extracción de raíces y potencias. Comenzaremos explicando su historia y luego veremos algunos ejemplos prácticos para que puedas entender y utilizar de acuerdo a las necesidades específicas que tengas.

¿Qué es el teorema de Moivre? Fórmula

La fórmula del teorema de Moivre fue creada y llamada por de Moivre, quien afirmó que un número complejo (particularmente para cualquier número real) xe para cualquier número entero n se puede verificar que: 

(cos x + i sen x) n = cos (nx) + sen i (nx) 

en la fórmula podemos ver que los números complejos (donde i representa una unidad imaginaria) están conectados con la trigonometría. Por lo tanto, a veces la expresión “cos x + sen i X” puede abreviarse simplemente como cis x. 

Cuando el lado izquierdo de la igualdad expande y compara la parte real con la parte imaginaria, se puede derivar una expresión para "cos (nx)" y "sin (nx)" en términos de cos (x) y sin (x). Además, esta misma forma también se puede usar para encontrar una formulación explícita diferente en la raíz n-ésima de la unidad, donde el número complejo z tal que Zn = 1. 

Ahora explique la historia del teorema de liberación aún más claramente:

Historia del teorema de Moivre

la fórmula actual que se encuentra en el teorema de Moivre se encontró por primera vez en el juego llamado 'Introducción al análisis infinitesimal' de Euler, en el que demostró para todos los números naturales n, que se publicó en 1748. 

Sin embargo, apareció por primera vez implícitamente en Abraham de Moivre desde 1707 en el trabajo que he realizado sobre las raíces n-ésimas de los números complejos. Ambos problemas están relacionados: una escritura (cos x + sen ix) n = cos nx) + sen i (nx) que estás diciendo equivale a decir que cos x + sen ix es una de las raíces n-ésimas del cos complejo (NX) + sen i (NX). 

Teorema de Moivre y explicación sencilla

¿Qué es el teorema de Moivre?

El teorema establece que cuando tenemos un número complejo en forma polar z = rƟ, donde r es el módulo del número complejo z, el ángulo ɵ es la amplitud del número complejo donde 0 ≤ ɵ ≤ 2π, de modo que para calcular el n -ésima potencia que se requiere multiplicada por sí misma n veces.

Así, el teorema establece que al escribir z en forma trigonométrica, para calcular la n-ésima potencia se puede utilizar:

Si z = r (cos ɵ + i * sin ɵ) entonces Zn = rn (cos n * ɵ + i * sin n * ɵ). 

En este caso, si n = 2, entonces significa que z² r² = [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Si tiene n = 3, entonces z³ = z² * z. 

O también:

z³ = r² [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] * r [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = R³ [cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)]. 

Además, de esta manera es posible multiplicar las razones trigonométricas del seno y el coseno LSO por un ángulo, solo cuando se conocen las razones trigonométricas del ángulo.

Los teoremas también se utilizan para encontrar expresiones precisas y no se confunden con la raíz enésima de un número complejo z, donde z n = 1 -. 

Para demostrar el teorema de Moivre se utiliza el principio de inducción matemática, donde cuando un número entero "a" tiene una estructura "P" y para cualquier número entero "n" es mayor que "a" que tiene una estructura "P" se cumple que n + 1 tiene la propiedad de "P", por lo que los enteros iguales o mayores que "a" tienen la propiedad de "P".

Teorema de prueba de video

Prueba del teorema de Moivre

Así, la demostración del teorema se produce con las siguientes operaciones.

Manifestación inductiva básica

Primero se comprueba para n = 1

Teorema de Moivre y explicación sencilla

demostración de inducción

esta vez es posible considerar tres casos:

en un entero n > 0, se procede por inducción. Donde n = 1, el resultado es verdadero. Suponiendo que se supone que el resultado real para algún número entero positivo K. Se supone:

Teorema de Moivre y explicación sencilla

A continuación, considere el caso n = k + 1:

Teorema de Moivre y explicación sencilla

Ahora infiere qué resultado será verdadero para ti n = k + 1 como lo es para n = k. Por lo tanto, gracias al principio de inducción matemática el verdadero resultado es claro para todos los números enteros n > 1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera, donde cos (0x) + sen i (0x). = 1 + i0 = 1, z = 1 °

Así, cuando n <0 se considera un entero positivo m tal n = -m

Por aquí :.

Teorema de Moivre y explicación sencilla

El teorema habitual generalmente será cierto para todos los valores enteros de n.

 

Potencias de números complejos en la fórmula de Moivre

Esto concluye nuestra información sobre el teorema de Moivre, espero que la información haya sido útil.

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