Teorema de Pascal con explicación detallada

Una de las ramas de las matemáticas que ha tenido un gran campo de estudio es la geometría. De esto se deriva que se denomina geometría proyectiva. Esto permite estudiar las propiedades descriptivas de las figuras geométricas, dando más peso al concepto de medida. Es donde tiene su base el teorema de Pascal , o también conocido como el hexagrama místico .

Según lo formulado, cuando un hexágono irregular está presente en una sección cónica, se extienden posiciones pares, generando puntos de intersección. Cada uno de estos son colineales y están atravesados ​​por una línea recta conocida como Pascal. Fue uno de los principios de Blaise Pascal que lograron desarrollar a temprana edad. En ese momento, solo tenía 16 años.

Sin embargo, se reconoce como una generalización del teorema del hexágono de Pappus. Pero además, está íntimamente relacionado con el teorema de Brianchon, considerados como teoremas duales. A través de ambos, es posible estudiar un hexágono irregular inscrito en una cónica.

¿Qué es el teorema del hexágono de Pappus?

para comprender el enunciado del teorema de Pascal, es necesario tomar en consideración la hipótesis del hexágono del teorema de Pappus. Este último ha sido reconocido como un caso degenerado de lo propuesto en la idea del hexagrama místico. Así, Pappus propone la siguiente definición: si se unen por parejas una figura de seis vértices, que se encuentran consecutivamente a lo largo de dos rectas, los puntos de intersección entre ambas estarán alineados. Esto permite un directo a través de eso.

Se consideró que el teorema del hexágono de Pappus se refiere a una incidencia puramente postulada. Aunque esto no se refiere a medidas, es posible demostrar mediante axiomas de congruencia de los segmentos. Por ello se indica como el teorema de gran importancia en geometría proyectiva.

A través de él es posible probar otros teoremas de incidencia, dejando de lado los axiomas métricos. Y de manera similar, resultó que cuando se trata de geometría proyectiva, tenemos una geometría de incidencia enfocada subsidiaria.

¿Qué es el teorema de Brianchon?

Charles Brianchon, químico y matemático de origen francés, presenta un postulado centrado en el estudio de hexágonos y secciones cónicas. Este fue bautizado en su nombre como el teorema de Brianchon. En su afirmación explícita de que un hexágono formado por seis puntos ABCDEF seis tangentes dentro de una sección cónica, todas conectadas al mismo punto P a través de los segmentos AD, BE y CF.

También se ha simplificado de la siguiente manera: un hexágono circunscribiendo una cónica, tres diagonales que incluyen el intercepto en un punto. Y que el punto de intercepción conocido como el punto de Brianchon.

Aunque este teorema es cierto tanto en términos de analogías en el plano de proyección real, se cree que en el caso del primero puede ser mucho menos informativo. Esto se puede comprobar usando como ejemplo, cinco líneas que son tangentes a una parábola. Entonces se dice que se refieren a cinco puntos del hexágono. La otra línea se considera una escala infinita, pero esta forma de un plano afín.

Si se traza una recta que une dos vértices se considera paralela a una de las tangentes. Así, se afirma que el teorema de Brianchon no reporta la presencia de estos casos.

¿Qué es el teorema de Pascal?

El teorema de Pascal o hexagrama místico es un postulado de Blaise Pascal que formuló cuando solo tenía dieciséis años. Este establece que un hexágono ABCDF arbitrario apunta, y se inserta en una sección cónica, para extender los pares de lados opuestos, formando estos puntos de cruce OPQ. A través de estos puedes dibujar una línea recta y cruzar los tres puntos. Esta línea se conoce como la línea de Pascal.

La mayor parte de este teorema se puede ver expresado en un hexágono cíclico inscrito en una elipse. Usualmente en estos casos unen los vértices secuencialmente en el orden en que aparecen en la sección cónica. Pero el orden en que se conectan los seis puntos, y para cada cono, también es cierto independientemente. Por eso hablamos del término hexágono arbitrario.

Cuando se analiza el teorema de Pascal, se debe tener en cuenta que se considera una generalización del teorema del hexágono de Pappus. Y a su vez, es una proyectiva dual del teorema de Brianchon. Möbius presentó una generalización del enunciado de este postulado: cuando hay un polígono inscrito de 4n + 2 lados en una sección cónica, los pares de lados opuestos se extienden para cruzarse en 2n + 1 puntos. Se dice que si 2n puntos están en la misma línea, el punto residual también está en la misma línea.

La historia del teorema de Pascal

Durante la década de 1930, durante el siglo XVII, Blaise Pascal acudió con su padre a las reuniones de matemáticas Mersenne organizadas en la ciudad de París. De ahí nació su interés por la obra de Desargues. Esto llevó a que en 1639 y solo dieciséis años formulara lo que denominó el hexagrama místico.

Gracias a este postulado pudo demostrar la validez de más de 400 teoremas y corolarios. Sin embargo, un detalle sorprendente de su propuesta es que en las declaraciones de las cuales no se asignan magnitudes a los segmentos ni a los ángulos. Este es el camino entonces considerado dentro del área de la geometría proyectiva.

Teorema y teorema de la relación de Brianchon

El tratado de Pascal El doble teorema proyectivo de Pascal del teorema de Brianchon Se dice entonces que es posible transformar uno en el otro cuando se sustituyen elementos y operaciones en su correspondiente dual. Dijo que la declaración es válida y efectiva entre los dos postulados. Y una forma de verificar es comparar la definición de dos teoremas:

• Teorema de Pascal: cuando en una sección cónica hay seis puntos opuestos a dos lados se extienden dos hasta que estos se cortan. Los tres puntos que se obtengan de la intersección se posicionarán en la misma recta
• Teorema de Brianchon. Cuando hay seis tangentes en una forma cónica, y se cortan de dos en dos para formar seis puntos de intersección. Se dice que uniendo las tres rectas que unen los puntos opuestos, se cortan en un punto.