MATEcomio – La soledad de los números complejos

En el dominio exclusivo de los números reales positivos y negativos, por supuesto, la raíz de un número negativo no tiene significado. Sin embargo, pensemos por un momento en los números negativos en sí: en el ámbito del conteo, los números negativos tampoco tienen significado. Hace más de dos milenios, los chinos se dieron cuenta de que los números negativos (que marcaban con cuentas de diferente color) podían usarse para expresar deudas en transacciones monetarias. En el año 620, el matemático indio Brahmagupta formalizó operaciones aritméticas para números negativos utilizando un signo especial, de forma muy parecida a como lo hacemos hoy. Pero para muchos matemáticos europeos los números negativos eran impensables. ¡y fueron rechazados en los cálculos hasta mediados del siglo XVIII! No fue hasta el siglo XIX que los matemáticos occidentales aceptaron finalmente y por completo los números negativos. Lo que se necesita para cambiar cualquier tipo de número de “impensable” o “imaginario” a “real” es la redefinición y expansión de operaciones matemáticas como la suma y la multiplicación para que funcionen de una manera consistente, natural y útil en situaciones nuevas. Hoy en día nos familiarizamos fácilmente con los números negativos en todas partes. Más allá de los pagarés, los vemos en las coordenadas de navegación GPS, en las escalas de temperatura, en las latitudes geográficas e incluso en deportes, videojuegos y programas de juegos como Jeopardy!

Por supuesto, los números negativos son omnipresentes en las matemáticas ahora. En geometría, los usamos para describir la direccionalidad inversa en la recta numérica. De manera similar, los números imaginarios y complejos (expresiones de la forma a + bi , donde los números reales a y b se unen a la raíz cuadrada de menos 1, representada por la unidad imaginaria “ i ”) no son más impensables que los números negativos una vez. eran. Surgen naturalmente de números familiares en muchas situaciones, dando lugar a varias aplicaciones en el mundo real, por ejemplo en ingeniería eléctrica y mecánica cuántica. Números complejos y sus descendientes (como cuaterniones y octoniones) .) mapean características reales del mundo físico, como explicó Patrick Honner en la reciente columna de matemáticas cuánticas “ Los números (imaginarios) en el borde de la realidad ”. Pero para la mayoría de la gente, el término “imaginario” todavía da a estos números un aura de extrañeza, una sensación de que son meras herramientas matemáticas, pero que de alguna manera no poseen la naturalidad o legitimidad para ser llamados números verdaderos.

¡No tan! Para ayudar a ver esto, reflexione sobre la siguiente pregunta: Imagine que tiene un papel en blanco con un punto central u origen marcado en él. Tu desafío es etiquetar cada punto de este plano con un único número que describa su posición. Además, debería poder sumar y multiplicar estos números de manera natural y consistente que realmente pueda ayudarlo a calcular relaciones bidimensionales. No es justo utilizar la geometría de coordenadas: cada punto debe estar delimitado únicamente por un único número aritméticamente manipulable. Si piensas profundamente en esto, te darás cuenta de que la única solución que funciona es inventar o utilizar números complejos (como hicieron Jean-Robert Argand y Caspar Wessel de forma independiente alrededor de 1800).

En esta solución, conocida como plano de Argand (o complejo) , la ubicación de cada punto es la suma de una parte real por su distancia horizontal y una parte imaginaria por su distancia vertical desde el origen. Esto le permite hacer toda la geometría de coordenadas y vectores usando números únicos. A un punto que está, digamos, 4 unidades a la derecha del origen y 3 unidades arriba se le asigna la coordenada única 4 + 3 i.. En realidad, este número compuesto se puede manipular como una entidad única utilizando las conocidas reglas de suma y multiplicación, lo que da como resultado una generalización completamente natural de la recta numérica de una a dos dimensiones. Las operaciones familiares que funcionan en la recta numérica también funcionan en el plano complejo, pero ahora generan nuevas funcionalidades y nuevos conocimientos. Así es como funciona:

Suma: Para sumar dos números como 2 + 3 en la recta numérica, te mueves 2 unidades desde el origen, y luego otras 3, para llegar a 5.

Si un número es negativo, simplemente muévete en la dirección opuesta: 2 + –3 = –1.

En el plano complejo, puedes ir a 2 + 2 i y luego mover otros 3 + 3 i para llegar a 5 + 5 i , que se encuentra a lo largo de la misma línea que antes.

Pero si viajas a 3 + i y luego vas a otros 2 + 4 i , terminarás en un punto que es la suma de los dos pero que no se encuentra en la misma línea que ninguno de los dos: 5 + 5 i . Esta suma de números complejos es exactamente equivalente en magnitud y dirección a la suma de vectores para calcular el “paralelogramo de fuerzas” de la física de la escuela secundaria y para medir los lados de los triángulos.

Multiplicación: Para multiplicar 2 y 3 en la recta numérica, simplemente te mueves 2 unidades desde el origen 3 veces.

El mismo proceso funciona en el plano complejo para la multiplicación por un número positivo: 3 por 2 + 2 i = 6 + 6 i . Para multiplicar por un número negativo en la recta numérica es necesario multiplicar primero por la parte positiva como antes, y luego multiplicar por –1, lo que gira las cosas 180 grados alrededor del origen. Por lo tanto, si te mueves 2 unidades desde el origen, multiplicas por 3 para llegar a 6 y luego giras 180 grados alrededor del origen, llegas a –6.

¿Qué sucede en dos dimensiones si giras solo un ángulo recto (90 grados)? Si girar dos ángulos rectos es lo mismo que multiplicar por –1, entonces girar un solo ángulo recto requiere multiplicar por un número que nos da –1 cuando lo multiplicamos dos veces. Ésta es la raíz cuadrada de –1, que, como ahora sabemos, es i . Por convención, girar un ángulo recto en sentido contrario a las agujas del reloj se considera multiplicación por i , mientras que hacerlo en el sentido de las agujas del reloj es multiplicar por –i . Esto funciona para todos los puntos del avión. Por lo tanto, si comienzas en 4 + 3 i y giras un ángulo recto en el sentido contrario a las agujas del reloj, te encontrarás en i × (4 + 3 i ) = 4yo + 3 yo ² = –3 + 4 yo .

Encontrar el punto medio: para encontrar el punto medio entre dos puntos en la recta numérica, todo lo que tienes que hacer es encontrar su media. El punto medio de la línea que une 4 + 3 i y 2 + 5 i es, simplemente, (4 + 2 + 3 i + 5 i ) / 2 = 3 + 4 i .

Una vez terminados estos preliminares, ¡busquemos el tesoro pirata enterrado! A continuación se muestran instrucciones para encontrar dos tesoros. El primero de estos problemas se puede resolver mediante geometría clásica o de coordenadas, pero la solución de números complejos es más simple (¡imagínate!). Este primer acertijo es una variante de uno descrito originalmente por el famoso físico nuclear George Gamow en un delicioso libro llamado Uno, dos, tres... Infinito: hechos y especulaciones de la ciencia , publicado originalmente en 1947. Al plantear este acertijo, he conservado el acertijo de Gamow. palabras para mostrar su travieso sentido del humor, pero hemos hecho pequeñas modificaciones para hacerlo actual y, por supuesto, para dar una respuesta diferente.

Tesoro uno

Había un joven y aventurero que encontró entre los papeles de su bisabuelo un trozo de pergamino que revelaba la ubicación de un tesoro escondido. Las instrucciones dicen:

“Navega hacia ______ latitud norte y ______ longitud oeste donde encontrarás una isla desierta. (Se han omitido las coordenadas reales para no revelar el secreto y provocar una fiebre del oro entre los Quanta) .lectores.) Hay una gran pradera en la costa norte de la isla donde se encuentran un roble solitario y un pino solitario. (Los nombres de los árboles han sido cambiados por la misma razón; obviamente habría diferentes variedades en una isla tropical). Allí verás también una vieja horca en la que una vez solíamos colgar a los traidores. Comienza desde la horca y camina hacia el roble contando tus pasos. En el roble debes girar a la derecha en ángulo recto y dar exactamente tres veces más pasos de los que acabas de dar para llegar al árbol. Pon aquí una estaca en el suelo. Ahora debes regresar a la horca y caminar hasta el pino contando tus pasos. En el pino debes girar a la izquierda en ángulo recto y nuevamente dar exactamente tres veces más pasos que los que diste para llegar al árbol. Clava otra estaca en la tierra. Cava hasta la mitad entre las púas; el tesoro está ahí”.

El joven alquiló un barco y navegó hacia los mares del Sur, donde encontró la isla, el campo, el roble y el pino. Pero, para su gran pesar, la horca ya no estaba. Había pasado demasiado tiempo desde que se redactó el documento; los elementos habían desintegrado la madera y la habían devuelto al suelo, sin dejar rastro ni siquiera donde alguna vez estuvo. El joven, en un furioso frenesí, empezó a cavar al azar, pero la isla era demasiado grande. Así que regresó con las manos vacías. Probablemente el tesoro todavía esté allí.

Es una historia triste, pero lo que es más triste es el hecho de que el hombre podría haber tenido el tesoro, si hubiera sabido un poco de matemáticas, y específicamente del uso de números imaginarios. ¿Podrás encontrar el tesoro para él?

Tesoro dos

Ojo por ojo y diente por diente

Recuerda el credo pirata. ¡En verdad!

En el roble solitario rodeamos a los traidores, ¡sí!

Luego los llevó al pino, menos ojo.

¡Los cofres de los muertos engrosaron tanto el tesoro!

Meditad sobre el credo: ¡ojo a ojo! Ahora ve a cavar.

¡Feliz desconcierto!

Actualización: la solución se publicara aquí .