Teorema

¿Qué es un teorema ? ¿Podría decirme la definición del teorema y especificar qué significa la palabra teorema en matemáticas? ¿En qué partes consiste un teorema y cuántos tipos de teorema existen?

Un teorema es una construcción matemática que se expresa por medio de una proposición , llamada enunciado , y se prueba por medio de un razonamiento lógico, llamado prueba ; también podemos definir un teorema como una implicación lógica entre dos predicados, el primero de los cuales se denomina hipótesis y el segundo tesis .

Índice de Contenido

Teoremas que te explicamos paso a paso

Teoremas del círculo

Teorema de Rolle - explicado tan fácil

El teorema de Morgan y su sencilla explicación

Teorema de superposición con explicación detallada

El Teorema del binomio explicado fácil

Teorema fundamental del cálculo integral bien explicado

Teorema de Moivre y explicación sencilla

Teorema de Pascal con explicación detallada

El teorema del residuo y el factor

El teorema de Bolzano con explicaciones sencillas

Partes de un teorema

Cualquier teorema tiene dos partes:

- el enunciado , que es la proposición que expresa la implicación lógica ;

- la demostración , que es el proceso deductivo que permite derivar el valor de verdad de la oración.

A su vez, el enunciado de un teorema consta de hipótesis y tesis :

- las hipótesis son las condiciones y/o propiedades en las que se basa el razonamiento, y se supone que son verdaderas;

- la tesis es la condición y/o propiedad que se deriva de las hipótesis.

Indicando con hipótesis y con la tesis, para probar un teorema hay que probar que se cumple la implicación

$I \ Flecha derecha T$

Cuando se ha demostrado un teorema, se dice que es condición suficiente para que ocurra y que es condición necesaria para que ocurra .

Observación (diferencia entre teorema y enunciado del teorema)

Un error común es confundir los dos conceptos de teorema y enunciado . El enunciado no es un teorema, sino sólo una de las dos partes que, junto con la demostración, constituyen un teorema.

Teorema = Enunciado + Prueba

Por ejemplo, la siguiente proposición:

en un triangulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos

es sólo el enunciado del teorema de Pitágoras .

Una declaración que se supone que es verdadera pero para la cual no se puede proporcionar una prueba se llama conjetura (que no debe confundirse con la noción de axioma ).

Tipos de teorema

Para entender qué y cuántos tipos de teoremas existen, indicamos con la hipótesis y con la tesis del enunciado de un teorema.

Después de demostrar que $I \ Flecha derecha T$ diremos que la implicación $I \ Flecha derecha T$ es un teorema directo . Partiendo del teorema directo, se definen otros tres tipos de teoremas:

- teorema inverso o teorema recíproco , que se obtiene intercambiando la hipótesis del teorema directo por su tesis. Entonces, si $I \ Flecha derecha T$ es el teorema directo, su teorema inverso es

$T \ Flecha derecha I$

Si, además del teorema directo, también se cumple el teorema inverso, tenemos la implicación lógica

$Yo \ si T$

y se dice que es condición necesaria y suficiente para que ocurra .

- Teorema contranominal , que tiene como hipótesis la negación de la tesis y como tesis la negación de la hipótesis del teorema directo. En general, el teorema contranominal del teorema $I \ Flecha derecha T$ es

$\ overline {T} \ Rightarrow \ overline {I}$

- Teorema contrario , obtenido al sustituir las respectivas negaciones por la hipótesis y la tesis del teorema directo. En consecuencia, el teorema opuesto de $I \ Flecha derecha T$ es

$\ overline {I} \ Rightarrow \ overline {T}$

Ejemplo de construcción de tipos de teoremas

Consideremos la siguiente afirmación (trivial): si $\ alfa$ es un ángulo obtuso , entonces $\ alfa$ es mayor que la mitad de un ángulo recto .

La hipótesis es: $\ alfa$ es un ángulo obtuso.

La tesis es $\alfa>45^{\circ}$ :.

Para verificar que la proposición anterior es efectivamente el enunciado de un teorema debemos aportar una demostración.

Demostración : por definición , un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto, por lo tanto $\alfa>90^{\circ}$ , en consecuencia, es obvio que resultará $\alfa>45^{\circ}$ .

Esto concluye la demostración y, por lo tanto, la proposición del ejemplo es en realidad el enunciado de un teorema.

El enunciado del teorema inverso se obtiene intercambiando la hipótesis por la tesis: si $\ alfa$ es un ángulo mayor que la mitad de un ángulo recto, entonces $\ alfa$ es un ángulo obtuso.

El enunciado del teorema contraonominal es: si $\ alfa$ es un ángulo menor que la mitad de un ángulo recto, entonces $\ alfa$ no es un ángulo obtuso.

El enunciado del teorema contrario es: si $\ alfa$ no es un ángulo obtuso entonces $\ alfa$ es menos de la mitad de un ángulo recto.

Nos gustaría señalar que los enunciados del teorema inverso y el teorema contrario son falsos y en este sentido podemos considerar un simple contraejemplo . si consideramos $\ alfa = 60 ^ {\ circ}$ , resulta que el ángulo $\ alfa$ :

- es mayor que la mitad de un ángulo recto, pero no es un ángulo obtuso (y esto contradice el teorema inverso);

- no es un ángulo obtuso pero no es menos de la mitad de un ángulo recto (y esto contradice el teorema opuesto).

Ejemplos de teorema

Aquí hay una pequeña lista de los teoremas más famosos de las Matemáticas; haciendo clic en su nombre, puede acceder a una lección enteramente dedicada a ellos, en la que encontrará una enunciación y demostración relativa.

teorema de Pitágoras ;

el teorema de Tales ;

los teoremas de Euclides ;

teorema de la cuerda ;

teoremas de Rolle, Cauchy, Lagrange ;

Teorema fundamental del cálculo integral ;

el teorema de De l'Hopital ;

.. la lista continúa, pero nos detenemos aquí. 😉