Qué es un teorema en matemáticas: partes, tipos y ejemplos
Un teorema es una afirmación matemática que se ha demostrado que es verdadera mediante un razonamiento lógico. Tiene la forma «si se cumple la hipótesis, entonces se cumple la tesis», y se compone de un enunciado y de su demostración.
Dicho de forma más sencilla: un teorema es una frase matemática que ya no hace falta creerse, porque alguien ha demostrado que siempre es cierta. «La suma de dos números pares es par» es un teorema: no vale con probar con \( 2 + 4 \) o \( 10 + 8 \); hay que dar un argumento que sirva para todos los números pares.
En resumen
- Teorema = enunciado + demostración.
- El enunciado tiene dos partes: la hipótesis \( H \) (lo que se supone) y la tesis \( T \) (lo que se concluye). Se escribe \( H \Rightarrow T \).
- A partir de un teorema directo \( H \Rightarrow T \) se forman el recíproco \( T \Rightarrow H \), el contrario \( \neg H \Rightarrow \neg T \) y el contrarrecíproco \( \neg T \Rightarrow \neg H \).
- El contrarrecíproco siempre equivale al directo; el recíproco y el contrario pueden ser falsos.
Las partes de un teorema y los tipos de demostración se trabajan en 3.º y 4.º de ESO y, con más detalle, en 1.º de Bachillerato.
Índice de Contenido
Teoremas que te explicamos paso a paso
Teoremas del círculo
Teorema de Rolle - explicado tan fácil
Leyes de De Morgan (teorema de Morgan): explicación fácil y ejemplos
Teorema de superposición con explicación detallada
El Teorema del binomio explicado fácil
Teorema fundamental del cálculo integral bien explicado
Fórmula de De Moivre: potencias y raíces de números complejos
Teorema de Pascal con explicación detallada
Teorema del residuo (o del resto) y teorema del factor
El teorema de Bolzano con explicaciones sencillas
Antes de empezar: tres ideas que necesitas
1. Qué es una proposición
Una proposición es una frase que es verdadera o falsa, sin término medio. «\( 7 \) es un número primo» es una proposición (verdadera); «\( 10 \) es impar» también lo es (falsa). En cambio, «¡qué bonito es el álgebra!» no es una proposición.
2. La implicación: «si…, entonces…»
Casi todos los teoremas tienen la forma «si \( H \), entonces \( T \)», que se escribe \( H \Rightarrow T \). Piensa en «si llueve, el suelo se moja»: cada vez que se cumple lo primero, se cumple lo segundo. Pero ojo: que el suelo esté mojado no significa que haya llovido (pueden haber regado).
3. Comprobar no es demostrar
Ver que algo funciona en diez, cien o mil casos no lo demuestra: siempre podría fallar en el caso mil uno. Una demostración es un razonamiento que vale para todos los casos a la vez. En cambio, para ver que algo es falso basta con un solo caso en que falle: un contraejemplo.
Teorema, axioma, lema, corolario y conjetura
| Término | Qué es | Ejemplo |
|---|---|---|
| Axioma o postulado | Se acepta como verdadero sin demostración; es el punto de partida | Por dos puntos pasa una única recta |
| Teorema | Afirmación importante que se ha demostrado | Teorema de Pitágoras |
| Lema | Resultado auxiliar que se demuestra para ayudar a probar un teorema | Un paso intermedio de una demostración larga |
| Corolario | Consecuencia casi inmediata de un teorema | Los ángulos de un triángulo equilátero miden \( 60^\circ \) |
| Conjetura | Se cree verdadera, pero aún no se ha demostrado | Conjetura de Goldbach |
No confundas una conjetura con un axioma: el axioma se acepta a propósito como regla del juego; la conjetura es una sospecha que todavía espera su demostración.
Las partes de un teorema
Partes de un teorema. Todo teorema tiene un enunciado y una demostración. El enunciado, a su vez, tiene una hipótesis \( H \) y una tesis \( T \):
\[ \underbrace{H \Rightarrow T}_{\text{enunciado}} \;+\; \text{demostración} \]
En palabras sencillas: la hipótesis es lo que te dan; la tesis, lo que tienes que conseguir; y la demostración, el camino que lleva de una a otra sin trampas.
Mini ejemplo. En «si un número es múltiplo de \( 4 \), entonces es par», la hipótesis es «\( n \) es múltiplo de \( 4 \)» y la tesis es «\( n \) es par».
Condición suficiente y condición necesaria
Cuando se ha demostrado \( H \Rightarrow T \), se dice que:
- \( H \) es condición suficiente para \( T \): basta con que se cumpla \( H \) para que se cumpla \( T \).
- \( T \) es condición necesaria para \( H \): si no se cumple \( T \), es imposible que se cumpla \( H \).
Ser múltiplo de \( 4 \) es suficiente para ser par, y ser par es necesario para ser múltiplo de \( 4 \).
No confundas el teorema con su enunciado
El enunciado solo es una de las dos partes del teorema. Por ejemplo, la frase «en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos» es el enunciado del teorema de Pitágoras. Se convierte en teorema cuando se acompaña de su demostración.
Tipos de teorema
A partir de un teorema directo \( H \Rightarrow T \) se pueden formar otros tres enunciados, intercambiando o negando la hipótesis y la tesis (\( \neg H \) se lee «no \( H \)»):
| Tipo | Forma | Cómo se obtiene | ¿Es cierto si el directo lo es? |
|---|---|---|---|
| Directo | \( H \Rightarrow T \) | Es el teorema de partida | — |
| Recíproco | \( T \Rightarrow H \) | Se intercambian hipótesis y tesis | No necesariamente |
| Contrario | \( \neg H \Rightarrow \neg T \) | Se niegan hipótesis y tesis | No necesariamente |
| Contrarrecíproco | \( \neg T \Rightarrow \neg H \) | Se intercambian y se niegan | Sí, siempre |
Si además del directo es cierto el recíproco, se escribe \( H \Leftrightarrow T \) y se dice que \( H \) es condición necesaria y suficiente para \( T \), o que «\( H \) si y solo si \( T \)».
¿Por qué el contrarrecíproco equivale al directo?
Vuelve a «si llueve, el suelo se moja». Si ves el suelo seco, puedes asegurar que no ha llovido: eso es el contrarrecíproco, y es tan cierto como la frase original. En cambio, el recíproco («si el suelo está mojado, ha llovido») y el contrario («si no llueve, el suelo está seco») fallan si alguien ha regado.
Con una tabla de verdad se comprueba que \( H \Rightarrow T \) y \( \neg T \Rightarrow \neg H \) son falsas exactamente en el mismo caso: cuando \( H \) es verdadera y \( T \) es falsa. Por la misma razón, el recíproco y el contrario también son equivalentes entre sí.
Cómo se demuestra un teorema, paso a paso
- Escribe la hipótesis y la tesis por separado, con palabras y con símbolos.
- Elige el método:
Método Qué haces Cuándo conviene Directo Partes de \( H \) y llegas a \( T \) Cuando \( H \) da información fácil de usar Por el contrarrecíproco Partes de \( \neg T \) y llegas a \( \neg H \) Cuando negar la tesis es más cómodo Por reducción al absurdo Supones \( H \) y \( \neg T \) y llegas a una contradicción Cuando no ves un camino directo - Usa solo la hipótesis, las definiciones, los axiomas y teoremas ya demostrados.
- Termina diciendo qué has probado, para que quede claro que has llegado a la tesis.
Truco: para demostrar, un argumento general; para refutar, basta un contraejemplo.
Explicación en vídeo
Si prefieres verlo explicado en la pizarra, en este vídeo de MateFacil se explica qué es un teorema y se demuestra uno sencillo paso a paso, a partir de axiomas (11 minutos):
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 (básico): múltiplos de 4
Demuestra que «si un número entero es múltiplo de \( 4 \), entonces es par» y estudia su recíproco.
Paso 1. Hipótesis: \( n = 4k \) para algún entero \( k \). Tesis: \( n \) es par.
Paso 2. Demostración: \( n = 4k = 2\cdot(2k) \), y como \( 2k \) es entero, \( n \) es par.
Paso 3. Recíproco: «si \( n \) es par, es múltiplo de \( 4 \)». Es falso: \( 6 \) es par y no es múltiplo de \( 4 \). Basta este contraejemplo.
Ejemplo 2 (básico): los cuatro enunciados con un ángulo
Sea \( \alpha \) un ángulo. Teorema directo: «si \( \alpha \) es obtuso, entonces \( \alpha > 45^\circ \)».
Paso 1. Hipótesis: \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Tesis: \( \alpha > 45^\circ \).
Paso 2. Demostración: si \( \alpha > 90^\circ \) y \( 90^\circ > 45^\circ \), entonces \( \alpha > 45^\circ \).
Paso 3. Los otros tres enunciados:
- Recíproco: si \( \alpha > 45^\circ \), entonces \( \alpha \) es obtuso. Falso: \( \alpha = 60^\circ \) es mayor que \( 45^\circ \) y no es obtuso.
- Contrario: si \( \alpha \) no es obtuso, entonces \( \alpha \le 45^\circ \). Falso: otra vez \( \alpha = 60^\circ \).
- Contrarrecíproco: si \( \alpha \le 45^\circ \), entonces \( \alpha \) no es obtuso. Verdadero, como el directo.
Atención: la negación de «\( \alpha > 45^\circ \)» es «\( \alpha \le 45^\circ \)» (menor o igual), no «\( \alpha < 45^\circ \)».
Ejemplo 3 (intermedio): un «si y solo si»
Demuestra que un entero \( n \) es par si y solo si \( n^2 \) es par.
Paso 1 (directo). Si \( n = 2k \), entonces \( n^2 = 4k^2 = 2\cdot(2k^2) \), que es par.
Paso 2 (recíproco, por el contrarrecíproco). Hay que probar «si \( n^2 \) es par, \( n \) es par». Es más fácil probar su contrarrecíproco: «si \( n \) es impar, \( n^2 \) es impar». Si \( n = 2k + 1 \), entonces \( n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \), que es impar.
Paso 3. Como valen el directo y el recíproco: \( n \text{ par} \Leftrightarrow n^2 \text{ par} \).
Ejemplo 4 (nivel examen): Pitágoras y su recíproco
¿Es rectángulo un triángulo de lados \( 6 \), \( 8 \) y \( 10 \)? ¿Y uno de lados \( 4 \), \( 5 \) y \( 6 \)?
Paso 1. Aquí se usa el recíproco del teorema de Pitágoras, que también está demostrado: si \( a^2 + b^2 = c^2 \), el triángulo es rectángulo.
Paso 2. \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \): es rectángulo.
Paso 3. \( 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \ne 36 = 6^2 \): por el teorema directo (en su forma contrarrecíproca), no es rectángulo.
Ejemplo 5 (nivel examen): refutar con un contraejemplo
¿Es un teorema «si un número es primo, entonces es impar»?
Paso 1. Busca un primo que no sea impar: \( 2 \) es primo (solo es divisible por \( 1 \) y por \( 2 \)) y es par.
Paso 2. Un solo contraejemplo basta: el enunciado es falso y no es un teorema. Sí lo es «todo primo mayor que \( 2 \) es impar».
Para qué sirve: teoremas en la vida real
- Construcción: los albañiles comprueban que una esquina es recta midiendo \( 3 \), \( 4 \) y \( 5 \) (o \( 60 \), \( 80 \) y \( 100 \) cm): es el recíproco del teorema de Pitágoras.
- Informática: los programas que deben funcionar siempre (en aviones, en bancos) se verifican con demostraciones, porque probar unos cuantos casos no garantiza nada.
- Razonar mejor: distinguir un enunciado de su recíproco evita errores como «todos los que aprueban estudian; Ana estudia, luego aprobará».
Teoremas famosos
- Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Teorema de Tales: rectas paralelas cortan segmentos proporcionales. Lo tienes explicado en proporcionalidad de segmentos y teorema de Tales.
- Fórmula de Euler para poliedros: \( C + V = A + 2 \). Ver la fórmula de Euler para poliedros convexos.
- Teoremas de Bolzano y de Rolle, del análisis: teorema de Bolzano y teorema de Rolle.
- Teorema fundamental del cálculo: relaciona derivadas e integrales. Ver teorema fundamental del cálculo integral.
- Teorema de Bayes, de la probabilidad: ver un ejemplo del teorema de Bayes.
- Teorema de Cantor-Bernstein, sobre conjuntos infinitos: ver de la paradoja de Galileo al teorema de Cantor-Bernstein.
Un poco de historia
La palabra teorema viene del griego theōrēma, de theōrein, «contemplar» u «observar»: algo que se examina con la mente. A Tales de Mileto (siglo VI a. C.) se le considera tradicionalmente el primero en demostrar resultados geométricos en lugar de limitarse a usarlos.
Hacia el 300 a. C., Euclides reunió en los 13 libros de sus Elementos unas 465 proposiciones, todas deducidas a partir de unos pocos postulados. Ese modelo (axiomas, definiciones, teoremas y demostraciones) es el que siguen las matemáticas desde entonces.
Algunos enunciados tardaron siglos en convertirse en teoremas. Pierre de Fermat escribió en el siglo XVII, en el margen de un libro, que \( x^n + y^n = z^n \) no tiene soluciones enteras positivas para \( n > 2 \); Andrew Wiles completó la demostración en 1994, más de 350 años después. Y el teorema de los cuatro colores (cualquier mapa se puede colorear con cuatro colores sin que dos regiones vecinas compartan color), planteado en 1852, lo demostraron Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976: fue el primer gran teorema demostrado con ayuda de un ordenador.
Errores comunes
- Creer que unos cuantos ejemplos demuestran un teorema. Los ejemplos ayudan a entender, pero no demuestran.
- Dar por bueno el recíproco. Que \( H \Rightarrow T \) sea cierto no dice nada de \( T \Rightarrow H \): hay que demostrarlo aparte.
- Negar mal. Lo contrario de «mayor que» es «menor o igual que»; lo contrario de «todos» es «alguno no».
- Confundir el contrario con el contrarrecíproco. El contrario (\( \neg H \Rightarrow \neg T \)) puede ser falso; el contrarrecíproco (\( \neg T \Rightarrow \neg H \)) siempre equivale al directo.
- Llamar teorema al enunciado. Sin demostración, solo es un enunciado (o una conjetura).
- Usar en la demostración lo que se quiere demostrar. Eso es un razonamiento circular y no prueba nada.
Resumen en una tabla
| Concepto | Idea clave |
|---|---|
| Teorema | Enunciado + demostración |
| Enunciado | \( H \Rightarrow T \): hipótesis y tesis |
| Recíproco / contrario | \( T \Rightarrow H \) / \( \neg H \Rightarrow \neg T \): pueden ser falsos |
| Contrarrecíproco | \( \neg T \Rightarrow \neg H \): equivale al directo |
| Si y solo si | \( H \Leftrightarrow T \): valen el directo y el recíproco |
| Contraejemplo | Un solo caso basta para refutar |
Ejercicios para practicar
Nivel 1: hipótesis y tesis
- Señala la hipótesis y la tesis de «si un número termina en \( 0 \), entonces es múltiplo de \( 5 \)».
Ver solución paso a paso
Hipótesis: el número termina en \( 0 \). Tesis: el número es múltiplo de \( 5 \).
- Escribe el recíproco, el contrario y el contrarrecíproco de «si un número es múltiplo de \( 6 \), entonces es múltiplo de \( 3 \)».
Ver solución paso a paso
Recíproco: si es múltiplo de \( 3 \), es múltiplo de \( 6 \).
Contrario: si no es múltiplo de \( 6 \), no es múltiplo de \( 3 \).
Contrarrecíproco: si no es múltiplo de \( 3 \), no es múltiplo de \( 6 \).
- ¿Cuáles de los enunciados del ejercicio 2 son verdaderos?
Ver solución paso a paso
El directo es verdadero (\( 6k = 3\cdot 2k \)), así que el contrarrecíproco también.
El recíproco y el contrario son falsos: \( 9 \) es múltiplo de \( 3 \) y no de \( 6 \).
Nivel 2: demostrar y refutar
- Demuestra que la suma de dos números impares es par.
Ver solución paso a paso
Si \( a = 2k + 1 \) y \( b = 2m + 1 \), entonces \( a + b = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1) \), que es par.
- Para números reales, «si \( a > 2 \), entonces \( a^2 > 4 \)» es cierto. ¿Lo es su recíproco?
Ver solución paso a paso
Recíproco: si \( a^2 > 4 \), entonces \( a > 2 \). Es falso: \( a = -3 \) cumple \( (-3)^2 = 9 > 4 \) y no es mayor que \( 2 \).
- Escribe correctamente la negación de «\( \alpha > 45^\circ \)» y la de «todos los alumnos han aprobado».
Ver solución paso a paso
\( \alpha \le 45^\circ \).
«Algún alumno no ha aprobado» (no «ningún alumno ha aprobado»).
Nivel 3: problemas
- ¿Es rectángulo un triángulo de lados \( 5 \), \( 12 \) y \( 13 \)? Indica qué teorema usas.
Ver solución paso a paso
\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \). Por el recíproco del teorema de Pitágoras, es rectángulo.
- Demuestra por el contrarrecíproco: «si \( n^2 \) es impar, entonces \( n \) es impar».
Ver solución paso a paso
Contrarrecíproco: «si \( n \) es par, \( n^2 \) es par».
Si \( n = 2k \), \( n^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \), que es par. Como el contrarrecíproco es cierto, el enunciado original también.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un teorema en matemáticas?
Es una afirmación que se ha demostrado verdadera mediante un razonamiento lógico, a partir de axiomas, definiciones y otros teoremas ya demostrados. Se compone de un enunciado (hipótesis y tesis) y de una demostración.
¿Cuáles son las partes de un teorema?
El enunciado y la demostración. El enunciado tiene, a su vez, hipótesis (lo que se supone) y tesis (lo que se concluye).
¿Cuántos teoremas existen?
No hay un número fijo: cada vez que alguien demuestra un resultado nuevo, aparece un teorema más, y cada año se publican miles. Lo que sí está bien delimitado son los tipos de enunciados asociados a un teorema: directo, recíproco, contrario y contrarrecíproco.
¿Qué diferencia hay entre un teorema y un axioma?
El axioma se acepta sin demostración como punto de partida; el teorema se demuestra a partir de los axiomas.
¿Qué es el teorema recíproco?
Es el que se obtiene al intercambiar la hipótesis y la tesis del teorema directo: de \( H \Rightarrow T \) se pasa a \( T \Rightarrow H \). No siempre es verdadero, así que hay que demostrarlo aparte.