¿Qué es Aritmética?

La aritmética es una rama de las matemáticas que se utiliza para los números, las relaciones entre los números, las observaciones sobre los números y la resolución de problemas.

La aritmética (término derivado de la palabra griega alithmos, "número") se refiere generalmente a la teoría de los números, la medición (medida) y el cálculo numérico (suma, resta, multiplicación, división, multiplicación, extracción de raíces, etc.). (Se refiere a los aspectos básicos de un proceso).

Sin embargo, el significado del término no era matemáticamente uniforme. El famoso matemático alemán Carl Friedrich Gauss fue Disquisitiones Arithmeticae (1801), y algunos matemáticos modernos han usado el término para incluir temas más avanzados. Los lectores interesados en esto último pueden consultar la teoría del número de artículos.

En nuestra sección de Matemáticas Aritméticas puedes encontrar:

Definiciones y leyes básicas

Números naturales

El acto de determinar el número de objetos existentes en una colección (o conjunto) de objetos (o artículos) se denomina recuento. El número así obtenido se llama la cuenta o número natural (1,2,3, …) y el número se llama la cuenta. Un conjunto vacío no tiene objetos, y el conteo resulta en lo que se llama un número entero además del número natural, que resulta en un número de cero.

Suma y Multiplicación

Un nuevo conjunto está formado por la combinación de un conjunto de dos objetos que contienen los elementos a y b juntos, y el nuevo conjunto está formado por los objetos a + b = c. La operación de combinar sumas se llama suma, y el signo + se lee como "más". Esta es la operación binomial más simple y es el proceso de combinar dos objetos.

Se dice que un conjunto es igual o equivalente si los objetos de dos conjuntos pueden ser emparejados de manera que cada elemento de cada conjunto coincida de manera única con un elemento de otro conjunto. El concepto de conjuntos iguales es una piedra angular de las matemáticas modernas y se introdujo en la enseñanza primaria como parte de las "Nuevas Matemáticas", aclamadas y criticadas por la crítica, desde su introducción en el decenio de 1960. Ya se ha hecho.

De la definición de los recuentos se desprende claramente que cuando se aplican a tres totales, se puede realizar la operación de suma cambiando el orden de los totales sin afectar a la suma. Se denominan leyes de adición conmutativa y leyes de combinación, respectivamente.

Si hay un número natural k, como a = b + k, entonces se dice que a es mayor que b (denotado como a> b) y b es menor que a (denotado como b b, o a <b (trisección). A partir de las reglas anteriores, vemos que independientemente de cómo se agrupen las sumas, una suma iterativa como 5 + 5 + 5 +5 puede describirse como 3x5. Así, se define un segundo sistema binario llamado multiplicación. El número de 5 multiplicado por el número de 3 que representa la suma se llama el multiplicador, y el resultado de 3x5 se llama el producto. El símbolo de la x en esta operación se lee como "doble". Cuando las letras como a o b se usan para representar números, el producto a x b suele describirse como… b o simplemente escrito como ab.

Si escribes tres columnas de cinco puntos cada una, como se muestra en la siguiente figura :

El primer conjunto consta de 3 puntos en 3 filas, o 3 x 3 puntos, y el segundo conjunto consta de 3 puntos en 2 filas, o 2 x 3 puntos, para un total de (3 x). (3) + (2 x 3) consiste en 3 + 2 = 3 puntos en 5 filas, o (3 + 2) x 3 puntos. En general, podemos probar que la multiplicación de la suma de los números es la misma que la suma de los dos productos propios. Esta ley se denomina ley de distribución.

Enteros

No entramos en la substracción por la simple razón de que puede definirse como el inverso de la suma. Por lo tanto, la diferencia entre dos números a y b, a --b, se define como la solución x de la ecuación b + x = a. Si el método de notación se limita a los números naturales, no tiene por qué haber una diferencia, pero si la hay, la diferencia será única utilizando las cinco reglas aritméticas básicas, como se ha descrito anteriormente. Se puede demostrar que. Las reglas de adición y multiplicación también pueden extenderse para aplicarse a las diferencias. Los números enteros (incluidos los ceros) pueden ampliarse para incluir todos los productos de la forma -1 xn (donde n es un número entero), así como soluciones de 1 + x = 0, es decir, soluciones del número -1. Lo hacemos. Una colección extendida de números se llama un número entero, y su número entero positivo es el mismo que un número natural. Estos números recién introducidos se llaman números enteros negativos.

Exponentes

a +⋯+ Así como la suma iterativa de la suma de k a a +⋯+ a se describe como k, también el producto iterativo de los factores k a xa x⋯xa se describe como k. El número k se llama el exponente y la base de su poder se llama k.

Teoría De Los Divisores

En este punto, se produce un desarrollo interesante. Esto se debe a que mientras sólo se realicen la suma y la multiplicación de los números enteros, el número resultante será siempre un número entero en sí mismo, es decir, un número del mismo tipo que el fondo. Sin embargo, esta característica cambia sustancialmente tan pronto como se introduce la división. Dividiendo (ese símbolo ÷) se obtienen resultados llamados ratios y fracciones. Esto incluye, sorprendentemente, un nuevo tipo de número, el número racional (no el número total). Aunque se derivan de combinaciones de números enteros, son claramente otra extensión de los conceptos de números naturales y números enteros definidos anteriormente. Aplicando la operación de división, el dominio de los números naturales se amplía y mejora inconmensurablemente más allá de los números enteros.

Esto es a menudo indicativo de una de las tendencias asociadas con el pensamiento matemático. Se basa inicialmente en operaciones muy específicas (por ejemplo, el recuento) y en conceptos relativamente sencillos (por ejemplo, los números enteros). Hemos descubierto que podemos asumir nuevos significados y posibles usos mucho más allá de las limitaciones. De los primeros conceptos definidos. Las extensiones de los conceptos básicos que dan resultados más poderosos se encuentran introduciendo los irracionales.

El segundo ejemplo de este patrón es el siguiente En la definición primitiva de los exponentes, si k es igual a cero o a una fracción, k parece no tener ningún sentido. Antes de escribir un producto iterativo de un factor cero o un producto iterativo de un factor fraccionario, necesitamos aclararlo. Considerando el caso de k = 0, el pequeño reflejo muestra que 0 puede tener un significado perfectamente exacto, pero además tiene una propiedad muy sorprendente. Como el resultado de dividir un número no cero por sí mismo es una unidad, obtenemos lo siguiente.

am ÷ am = am – m = a0 = 1.

No sólo podemos ampliar la definición de ak para incluir el caso en que k = 0, sino que el resultado resultante tiene la notable propiedad de ser independiente de cualquier valor particular (no cero) de la base a. Lo hacemos. Se puede hacer un argumento similar de que ak es una expresión significativa incluso cuando k es negativo, es decir, --k = 1 / a k.

Teoría fundamental

Si tres números enteros positivos a, b y c están en la proporción ab = c, entonces se dice que a y b son el divisor de c, que es un aproximado o un factor de c, o dividen a por c (denotado como a | c) bc. Se dice que el número c es un múltiplo de a y un múltiplo de b.

El número 1 se llama unidad, donde 1 es un número aproximado de todos los números enteros positivos. Si c puede expresarse como el producto de b, y 1 y b son cada uno de los números enteros positivos mayores o iguales a 1, entonces c se denomina un compuesto. Los números enteros positivos que no son ni 1 ni compuestos se llaman números primos. Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … son números primos. Euclides, un antiguo matemático griego, demostró que hay un número infinito de primos en sus elementos (c. 300 a.C.).

El teorema fundamental de la aritmética es su DisquisitionesArithmeticae, probado por Gauss. Establece que cada número compuesto puede ser representado como un producto de números primos, y esta representación es única excepto por el orden en que los factores están escritos. El teorema de Gauss es una derivación directa de otro teorema de Euclides, y cuando un primo divide un producto, uno de los factores del producto también se divide.

Números Racionales

Desde un punto de vista más abstracto, los conceptos de división y fracciones pueden pensarse de la siguiente manera: si se necesita saber la duración de un proceso particular con una precisión de más de una hora, se puede especificar una fracción.

Sumar y Restar Fracciones

A partir de la definición de una fracción, la suma (o diferencia) de dos fracciones con el mismo denominador es otra fracción con este denominador, y el numerador es la suma (o diferencia) de los numeradores de una fracción particular. Es lo siguiente. Se pueden sumar o restar dos fracciones con diferentes denominadores, reduciéndolas primero a una fracción con el mismo denominador. Por lo tanto, para añadir a/b y c/d, es necesario determinar el LCM de b y d. A menudo se hace referencia a esto como el mínimo común denominador de la fracción. Dado que hay números k y l tales que kb = ld, y ambas fracciones pueden ser escritas en este común denominador, sumar o restar una fracción es simplemente sumar o restar un nuevo numerador. que se obtiene introduciendo un valor en el nuevo denominador.

Multiplicar y Dividir Fracciones

Para multiplicar las dos fracciones, si un número es un número entero, póngalo encima de 1 para crear la fracción, luego multiplique el numerador y el denominador por separado para crear un nuevo numerador y denominador fraccionario: a/ b x c / d = ac / bd. después de que necesite invertir el numerador y el denominador para dividir por la fracción, se convierte en una cuestión de multiplicación: a / b / c / D = A / B x D / C = A D / BC.

Teoría de los Racionales

El método de introducir un número racional positivo que no es intuitivo (es decir, que contiene todos los pasos lógicos) fue dado por el matemático alemán ErnstSteinz en 1910. Todos los conjuntos de números (a, b), (c, d), … Si consideramos un conjunto de a, b, c, d, … son números enteros positivos, y la secuencia de igualdad (a, b) = (c, d) se define para significar que ad = bc. Las dos operaciones + y x se definen de manera que la suma de (a, b) x (c, d) = (ad + bc, bd) = (ac, bd) es un par, y el producto de los pares (a, b) x (c, d) = (ad + bc, bd) = (ac, bd) es un par. Eso fue todo. Si estas sumas y productos se especifican correctamente, se satisfacen las reglas básicas de aritmética para estos pares, indicando que los pares de tipo (a, 1) son abstractamente idénticos a los enteros positivos a Ya está hecho. Además, como b x(a, b) = a, el par (a, b) de b x(a, b) = a es abstractamente idéntico a la fracción a / b.

Números Irracionales

Fue conocido por Pitágoras, un seguidor del antiguo matemático griego Pitágoras. Por ejemplo, si la longitud de lado de un triángulo isósceles rectángulo es 1, entonces, según el teorema de Pitágoras, la longitud del lado siguiente debe ser 2.

Un contemporáneo de Platón, Eudoxus de Cnidus, estableció las técnicas necesarias para aumentar los números más allá de la razón. Su contribución es una de las más importantes en la historia de las matemáticas, documentada en elementos euclidianos y en otros lugares, y se interrumpió hasta el crecimiento moderno del análisis matemático en la Alemania del siglo XIX.

Se acostumbra a suponer intuitivamente que existe un número (llamado número real positivo) que representa la longitud de cada segmento de línea y la unidad de longitud. No todos estos números son números racionales, pero cada uno de ellos puede ser abordado arbitrariamente desde muy cerca si son números racionales. Es decir, si x es un número real positivo y la épsilon es un número racional positivo arbitrario, no importa cuán pequeño sea, se pueden encontrar dos números racionales positivos a y b dentro de una épsilon de corta distancia, de tal manera que x se encuentra en medio. En los problemas de medición, los números irracionales suelen ser sustituidos por aproximaciones numéricas racionales apropiadas.

Las extensiones precisas de las matemáticas irracionales están más allá del alcance de las matemáticas. Son introducidos de manera muy satisfactoria por Dedekindcut, introducido por el matemático alemán Richard Dedekind, y por una serie de racionalidad desarrollada por el matemático alemán Georg Kantor, introducida por el matemático alemán Georg Kantor. Estos métodos se describen en el análisis.

El alcance y la utilidad de la aritmética pueden ampliarse en gran medida mediante el uso de números irracionales. Por ejemplo, si n es un número entero y a es cualquier número real positivo, entonces √a tiene un número real positivo, y n-, llamado n-, es la raíz de 1, y su n-cuadrado es 1. El símbolo rootSquareroot representa la raíz convencional r, o "raíz". El término evolución puede aplicarse al proceso de encontrar una aproximación razonable del número de raíces.