El teorema de Bolzano con explicaciones sencillas

El Teorema de Bolzano es una hipótesis matemática intuitiva utilizada, entre otras cosas, para dibujar gráficas de funciones continuas . También para encontrar el valor aproximado de una ecuación donde existe el tamaño de una raíz. Es el modelo matemático más conocido para resolver varias ecuaciones.

pero como funciona? ¿Cuál es la historia detrás del análisis numérico? Estas y otras preguntas serán respondidas en este artículo a continuación. Te invitamos a acompañarnos hasta el final porque esta información será de utilidad en el campo profesional de los estudiantes.

¿Qué es el teorema de Bolzano?

El teorema de Bolzano es una hipótesis matemática utilizada para funciones continuas definidas en un intervalo de dos ejes. Fue presentado por el matemático Bernard Bolzano en 1850 en la República Checa. 

Por supuesto se utiliza para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones dadas por funciones reales y continuas, dentro de un intervalo que asume valores positivos y negativos. La tesis del teorema muestra que, en algún punto del intervalo, la función se cancela. Y uno de los requisitos del teorema es que debe haber signos de conformidad opuestos. Sin embargo, para entender mejor esta hipótesis, recuerda cómo funciona la ley de los signos.

Historia del Teorema de Bolzano

Como se mencionó anteriormente, la creación de este teorema por parte de Bernhard Bolzano se atribuye a un matemático checo nacido en Praga. Estudió filosofía de la religión en la Universidad de Praga y fue reconocido como un gran lógico con varias entradas y obras solemnes. Especialmente en funciones continuas, que es el tema de interés en este artículo.

La historia de este personaje en particular es interesante, pues en un caso en su vida fue acusado de herejía y muchas de sus obras y aportes fueron censurados por ir en contra de la política y la religión. Si bien vetó usar su inteligencia en varios campos logró estudiar en su gran obra y se hizo un nombre entre los matemáticos más famosos del país.

Al principio, sus obras no tuvieron la repercusión que tuvo años después. Gran parte de la comunidad asumió que tenían el rigor necesario, y mucho menos la profundidad para catalogarlo como un teorema matemático. Sin embargo, la historia ha demostrado que algunos de los conceptos numéricos 'redescubiertos' fueron anticipados por Bolzano. Algunos ejemplos de intelectuales que desarrollaron modelos, hipótesis y teoremas de trabajo del filósofo República fueron. Cantor y Weierstrass 

Motivaciones Previas para el Teorema de Bolzano

Algunas de las razones detrás del teorema son: Las ecuaciones se pueden resolver fácilmente con un solo cálculo, simplificando el trabajo que otros estaban haciendo. Tal es el caso del conocido 'X (2) -1 = 0.

Además, algunas ecuaciones podrían resolverse mediante el cambio de variable, como se conoce "2 (x + 2) - 2 (x) + 3 = 0. las matemáticas que reemplazaron variable cambiando la ecuación y obtener un cálculo simple: y = 2 (x) . Siendo la solución a este problema. X = -2

Lo que dice el teorema de Bolzano

El enunciado del teorema de Bolzano es:

"Si una función f (x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b] y asume valores de distinto signo en los extremos a y B, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto ( a, b) donde se cancela la función. "

estudiando el enunciado nos damos cuenta de que el autor explica que en una función dada, que es continua y están conectadas por una curva con dos extremos - f (a) y f (b) - en la que 'f (a)' está en el ' eje del negativo de x, y en cambio 'f (b)' está en el pozo x positivo, habrá un corte gráfico intermedio entre los valores 'a' y 'b', cuyo valor es igual a 0, y puede ser representado por 'f (c)'. Además de lo anterior, también se puede determinar a partir de esta afirmación que cualquier función continua definida en un intervalo de f (a) * f (b) menor que 0, será una raíz en el intervalo. Lo que pasa con este teorema es que prueba que 'no es la raíz y corta la gráfica', pero no te dice dónde. Tampoco establece el número de puntos que existen dentro del rango abierto, solo que existe menos uno = 1. 

Prueba Teorema Bolzano

Para ilustrar los conceptos expuestos en el Teorema de Bolzano, hemos decidido tomar en consideración la siguiente función: X³ + x - 1 = 0. Proponemos la función F de la siguiente manera (x) = X³ + x - 1 = 0, en la que la función es continua para ser polinomial. (0,1). Sin embargo, una vez dibujada la gráfica nos damos cuenta de que:

f (0) = -1 0. Observancia de lo dispuesto en el teorema, ya que en los extremos del intervalo, los signos son diferentes. El punto c del intervalo abierto también es el siguiente f (c) = 0.

Teorema de aplicación de Bolzano

El teorema es una de las hipótesis más simples y fáciles de entender. La mayoría de las funciones se pueden resolver mediante cálculo o cambiando variables. Pero hay otras situaciones, como si las soluciones reales, donde no se puede utilizar un cálculo simple y por lo tanto es necesario utilizar el teorema de Bolzano. 

El teorema de la República también se aplica a la demostración, ya sea que se afirme o no la existencia de soluciones de una ecuación dada tanto una función real como un continuo. También una variable en un rango que tiene dos valores: uno positivo y otro negativo. Aunque esto último ya fue probado por otros matemáticos a partir de una construcción geométrica. Pero el teorema se demostró dentro de una prueba analítica. 

Además de lo anterior, el teorema de Bolzano se utiliza en los siguientes casos: encontrar un intervalo al menos una solución, dividir el intervalo por la mitad y evaluar la función por la mitad. Este último depende del signo del signo del valor.

Video explicativo teorema de Bolzano