Geometría Analítica
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Geometría Analítica
La geometría analítica estudia las líneas y formas geométricas aplicando métodos algebraicos básicos y análisis matemáticos a un sistema de coordenadas específico. Como resultado, la geometría analítica es un campo de las matemáticas que analiza en detalle todos los datos como el volumen, el ángulo, el área, la intersección y la distancia de las figuras geométricas.
¿Qué es Geometría Analítica?
La geometría analítica es un campo algebraico utilizado para modelar objetos geométricos, siendo los puntos, líneas y círculos los más básicos. La geometría analítica es el gran invento de Descartes y Fermat.
En la geometría del plano analítico, un punto se define como un par de números ordenados como (x, y) y una línea se define como un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación lineal.Desde el punto de vista de la geometría analítica, el axioma geométrico es un teorema derivable. Por ejemplo, para dos puntos diferentes (x 1, y 1) y (x 2, y 2), hay una línea eje + por + c = 0 a través de estos puntos. Sus coeficientes a, b y c pueden encontrarse (hasta un coeficiente específico) en un sistema lineal de dos ecuaciones.
ax1 + by1 + c = 0
ax2 + by2 + c = 0,
o directamente de la ecuación determinante:
Pero la teoría pública no puede escapar con elementos indefinidos. En la teoría de conjuntos que sustenta gran parte de las matemáticas, especialmente en la geometría analítica, la noción más básica de conjuntos permanece indefinida.
La geometría del espacio tridimensional está modelada por tres términos de números (x, y, z), donde la ecuación lineal tridimensional eje + por + cz + d = 0 define el plano. En general, la geometría analítica proporciona una herramienta útil para trabajar en dimensiones más altas.
En el marco de la geometría analítica, también se pueden modelar geometrías no euclidianas. Por ejemplo, en la geometría de un plano proyectivo, un punto es un punto porque es un triplete de coordenadas homogéneas (x, y, z), no todas las cuales son cero.
(tx, ty, tz) = (x, y, z),
para todo t ≠ 0, La línea, por otra parte, se describe por una ecuación homogénea.
ax + bx + cz = 0.
En la geometría analítica, las curvas cónicas se definen por ecuaciones de segundo grado.
| ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0. |
La parte de la geometría analítica que se ocupa principalmente de las ecuaciones lineales se llama álgebra lineal. La geometría analítica ortogonal es una geometría en la que los ejes de x = 0 y y = 0 son ortogonales.
Los componentes de n-tupla x = (x 1 , …, x n ) Se conoce como sus coordenadas. Para n = 2 y n = 3, la primera coordenada se llama la coordenada horizontal y la segunda coordenada se llama la coordenada vertical.
La geometría analítica utiliza el análisis matemático básico y métodos algebraicos para aprender formas geométricas en un sistema de coordenadas determinado. Su desarrollo histórico comenzó con la geometría cartesiana, seguida del surgimiento de la geometría diferencial de Karl Friedrich Gauss y el desarrollo de la geometría algebraica.
Hoy en día, la geometría analítica tiene múltiples usos más allá de las matemáticas y la ingeniería, ya que se ha convertido en parte del trabajo de un gerente para la planificación estratégica y la toma de decisiones logísticas. Una característica fundamental de la geometría analítica es su capacidad de representar matemáticamente las figuras geométricas. Por ejemplo, la circunferencia de un círculo está representada por un polinomio de segundo orden y una línea está representada por un polinomio lineal.
2 Cuestiones Fundamentales de la Geometría Analítica
- Dada la posición geométrica del sistema de coordenadas, encuentra la ecuación.
- Dadas las ecuaciones del sistema de coordenadas, determinar la posición gráfica o geométrica de los puntos para verificar la ecuación.
Origen de la geometría analítica
Cuando se trata de descubrir los orígenes de la geometría analítica, algunos matemáticos e historiadores dicen que es paternalista para algunos científicos y paternalista para otros. Hay mucho debate. Pero lo que es cierto e indiscutible es que, en cierto sentido, hay tres figuras históricas que fueron los primeros en utilizarlo y desarrollarlo.
Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048-1131). Escribió una serie de libros que se convirtieron en la base de este campo científico y el pilar de su posterior desarrollo teórico. Entre ellos están, por ejemplo, los documentos sobre la prueba de posibles proposiciones paralelas y los documentos sobre la prueba de álgebra.
De estos textos escritos por este autor persa, es posible que el científico francés René Descartes (1596-1650) "bebió Descartes es otra figura importante en los orígenes de la geometría analítica, y muchos autores afirman que es el padre de la geometría analítica. Así, entre sus mayores contribuciones está el llamado eje cartesiano, y una de sus obras más influyentes, por ejemplo, la geometría.
Junto a estas dos importantes figuras, el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), conocido como Eric Templebell, no debe ser pasado por alto. Se le considera el descubridor de los principios fundamentales de la geometría analítica, y sólo por eso se ha hecho un nombre en la teoría de los números.
Como sucede cuando se habla de geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría planar y geometría espacial, cabe señalar que hay varios tipos de geometrías que muestran la pericia en el nombre. Hay. En el caso de la geometría analítica, es un campo que propone analizar las formas a partir de un sistema de coordenadas y utiliza el campo de los métodos de análisis matemático y el álgebra.
La geometría analítica tiene como objetivo encontrar las ecuaciones en un sistema de coordenadas en función de la posición geométrica. Por otro lado, la disciplina nos permite determinar la posición geométrica de un punto que forma parte de la ecuación en el sistema de coordenadas.
Plano Cartesiano de la Localización en la Geometría Analítica
En el sistema de coordenadas cartesianas, un punto en el plano está determinado por dos números, llamados las coordenadas horizontales y verticales de ese punto. Por este procedimiento, cada punto del plano corresponde siempre a dos números reales ordenados (ejes horizontal y vertical), e inversamente, un solo punto del plano corresponde a un par de números ordenados. Como resultado, el sistema cartesiano establece una doble correspondencia entre los conceptos geométricos, como los puntos en un plano, y los conceptos algebraicos, como los pares de números ordenados. Esta correspondencia forma la base de la geometría analítica.
En la geometría analítica, las figuras geométricas planas se pueden encontrar por medio de ecuaciones y desigualdades con dos incógnitas. Esta es otra forma de resolver el problema, o al menos de proporcionar una nueva perspectiva sobre el ataque al problema.
En el plano, se dibujan por convención dos líneas (ejes) perpendiculares entre sí, una horizontal y otra vertical, y cada punto del plano es cada eje de ese punto. Cada una de ellas está determinada de manera única por la distancia a y desde ese punto, siempre que exista también un criterio a determinar en el medio plano determinado por cada línea que debe tomar esta distancia, y un criterio dado por el símbolo. Está determinado por la distancia al eje. Este par de números, las coordenadas, está representado por un par ordenado (x, y), donde x es la distancia a un eje (normalmente la distancia al eje vertical) y y es la distancia al otro eje (por convención). donde x es la distancia a un eje (normalmente la distancia al eje vertical) y y es la distancia al otro eje (por convención) . (distancia al eje horizontal).
En la coordenada X, un signo positivo (normalmente omitido) significa poner una distancia a la derecha del eje horizontal (eje horizontal) y un signo negativo (no omitido) significa poner una distancia a la izquierda. Para las coordenadas y, un signo positivo (normalmente omitido) pone la distancia por encima del eje vertical (eje vertical) y un signo negativo (también no omitido) pone la distancia por debajo. Medios de tomar.
La coordenada x se denomina comúnmente la coordenada horizontal de un punto y la coordenada y se denomina comúnmente la coordenada vertical de un punto. Como el eje vertical es 0, el punto en el eje horizontal tendrá la forma de (x, 0), pero como el eje vertical es 0, el punto en el eje vertical tendrá la forma de (0, y). En el punto donde ambos ejes se cruzan, la distancia a cada eje es 0, el eje horizontal es 0, y el eje vertical también es 0.
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