SOLUCIÓN tesoros 1 y 2 – Números complejos

Nuestro acertijo  envió a los lectores a una búsqueda del tesoro basada en números complejos. Primero proporcionamos una introducción, demostrando que los números complejos (expresiones de la forma  a  +  bi , donde los números reales  a  y  b  se unen a la unidad imaginaria i , que representa la raíz cuadrada de –1) surgen con tanta naturalidad en matemáticas como cualquier otro tipo de número. No merecen el epíteto de “imaginarios”. Así como los números negativos no son naturales en el dominio de los objetos contables, pero se vuelven perfectamente naturales como deudas en el ámbito de la contabilidad y como distancias a la izquierda del origen en la recta numérica, los números demasiado complejos surgen de manera completamente natural cuando nos movemos desde el origen. recta numérica unidimensional al plano bidimensional.

El mes pasado, mostramos cómo a todos los puntos en un plano bidimensional se les podían asignar números complejos únicos cuyas partes real e imaginaria indicaban sus distancias horizontal y vertical desde el origen, respectivamente. Al igual que los números reales más familiares, estos números también se pueden sumar o multiplicar para obtener otro número complejo. Estas operaciones algebraicas corresponden exactamente a manipulaciones geométricas específicas que te llevan al punto representado por el resultado. La suma ahora es una suma de vectores, y la multiplicación representa girar alrededor del origen, con un giro en ángulo recto en el sentido de las agujas del reloj el resultado de multiplicar por i y en el sentido contrario a las agujas del reloj el resultado de multiplicar por – i . El punto medio de dos puntos del plano complejo es simplemente su media.

Con estos conceptos básicos de números complejos en mente, resolvamos nuestro acertijo de febrero y localicemos el tesoro escondido.

Encontrar el tesoro uno

Nuestra primera búsqueda del tesoro fue una variante de la descrita originalmente por el famoso físico nuclear George Gamow en su libro  Uno, dos, tres... Infinito . La búsqueda del tesoro se desarrolla en una isla que tiene dos árboles (un roble y un pino) y una antigua horca. Aquí está el pasaje clave que muestra cómo encontrar el tesoro basándose en estos tres puntos:

“Empieza desde la horca y camina hacia el roble contando tus pasos. En el roble debes girar a la derecha en ángulo recto y dar exactamente tres veces más pasos de los que acabas de dar para llegar al árbol. Pon aquí una estaca en el suelo. Ahora debes regresar a la horca y caminar hasta el pino contando tus pasos. En el pino debes girar a la izquierda en ángulo recto y nuevamente dar exactamente tres veces más pasos que los que diste para llegar al árbol. Clava otra estaca en la tierra. Cava hasta la mitad entre las púas; el tesoro está ahí”.

Lamentablemente, la horca ha desaparecido sin dejar rastro. ¿Aún podremos encontrar el tesoro?

¡Seguro! Lo único que tenemos que hacer es aplicar las operaciones descritas anteriormente en el plano complejo. Establezcamos el eje real de modo que el roble esté en –1 y el pino en +1. (Tenga en cuenta que somos libres de elegir cualquier coordenada para estos dos puntos, porque siempre podemos asignar estas coordenadas a cualquier sistema arbitrario: como dicen los matemáticos, esta elección se puede hacer "sin pérdida de generalidad").

Siguiendo la convención, asignemos la letra z al punto hipotético donde estaba la horca y veamos a dónde nos lleva. (En su relato, Gamow usó con humor la letra griega gamma (Γ) para este propósito, porque “parece una horca”. Bueno, puedes pensar en z como una horca moderna, diseñada con un centro de gravedad más estable). Dado que el giro en ángulo recto se define alrededor del origen, supongamos por un momento que el roble es el origen. En relación con el roble, la horca está en z + 1. Necesitamos multiplicar por i y luego por 3 para encontrar la posición de la primera púa, que por lo tanto está en 3 i(z + 1 ) = 3 iz + 3 i, en relación con el roble. Respecto al origen verdadero, este punto será 3 iz + 3 i – 1, ya que el roble está desplazado –1 del origen verdadero. De manera similar, la segunda púa está en 3 (–i)(z – 1 ) = 3 i – 3 iz en relación con el pino, que se convierte en 3 i – 3 iz + 1 en coordenadas verdaderas. El tesoro está en el punto medio de las púas, que está en ( 3 iz + 3 i – 1 + 3 i – 3 iz + 1 )/ 2 que es solo 3 i – la ztérminos y los 1 se cancelan. Entonces la posición de la horca es irrelevante para la posición del tesoro. ¡Pirata astuto! En palabras del solucionador de acertijos Douglas Felix , “para encontrar el tesoro pirata, te colocas a medio camino entre el roble y el pino, con los escalones d de roble delante de ti y los escalones d de pino detrás, giras a la derecha, caminas 3 ¡ Da pasos y cava!

Todo lo que el cazador de tesoros tenía que hacer, en lugar de cavar al azar y fallar, era imaginar una horca virtual en cualquier punto aleatorio. Como fue el caso con nuestro primer acertijo , “ ¿Puede la información surgir de la aleatoriedad ?”, el cazador de tesoros puede obtener “mágicamente” información real a partir de una suposición aleatoria.

Si bien nuestra historia del tesoro perdido fue trágica para el protagonista, felicitaciones a los lectores que encontraron este tesoro. Fue ingenioso Ahmad Khalifa , quien utilizó el razonamiento sabelotodo de que el rompecabezas sólo podría haberse planteado si la posición de la horca era irrelevante, por lo que podemos colocar la horca donde queramos. Para hacerlo sencillo, podemos situarlo en el origen, con el roble en (–1,0) y el pino en (+1,0). Ahora podemos visualizar fácilmente que el tesoro estará en (0,3).

Encontrar el tesoro dos

Para el problema dos, la pista del tesoro llegó en forma de este poema críptico:

Ojo por ojo y diente por diente

Recuerda el credo pirata. ¡En verdad!

En el roble solitario rodeamos a los traidores, ¡sí!

Luego los llevó al pino, menos ojo.

¡Los cofres de los muertos engrosaron tanto el tesoro!

Meditad sobre el credo: ¡ojo a ojo! Ahora ve a cavar.

 Aquí están las líneas clave (traducidas):

En el roble solitario rodeamos a los traidores, ¡sí! (El roble está en i .)

Luego los llevó al pino, menos ojo. (El pino está en –i .)

Meditad sobre el credo: ¡ojo a ojo! Ahora ve a cavar. (El tesoro está en i ⁱ . )

Entonces, ¿cómo encontramos i ⁱ ? Para ello necesitamos la fórmula inmortal de Euler (también llamada identidad de Euler), e ^iπ = – 1, que relaciona tres famosas constantes matemáticas provenientes de universos matemáticos totalmente diferentes: e , π e i . Por ahora, ignoremos lo que significa esta fórmula y usémosla para encontrar nuestro tesoro.

Partiendo de la identidad de Euler y tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos, e ^{iπ/ 2} = i. Elevando ambos lados a i , obtenemos e ^{–π/ 2} = i ⁱ . Puedes introducir e ^–π/2 en una calculadora científica para encontrar la respuesta, que es aproximadamente 0,208. Por extraño que parezca, i ⁱ es un número real cuyo valor es aproximadamente 1/5.

El resto es fácil. En palabras de Manuel Fortin: “Entonces, en un sistema de coordenadas donde el roble está en i y el pino en –i , el tesoro está en aproximadamente 0,208. Para llegar al segundo tesoro, ve a la mitad del camino entre los dos árboles, con el roble a tu izquierda, y camina aproximadamente 1/5 de la distancia desde el punto medio y cualquiera de los árboles; Estarás cerca del tesoro. Si puedes medir las cosas con bastante precisión, calcula 0,208 veces la distancia”.

Volvamos por un momento a la identidad de Euler. Esta fórmula es realmente hermosa, pero parece completamente misteriosa para los no iniciados, por lo que merece alguna explicación. Para obtener una comprensión intuitiva de cómo e ^iπ llega a ser –1, consulte esta popular explicación. Como explica el autor, elevar e a un exponente real es como tomar el número 1, atarle un motor a reacción y hacer que crezca. Pero cuando elevas e a un exponente imaginario, imagina que el motor a reacción queda atado de lado, de modo que el número, en lugar de crecer, gira en el plano complejo bidimensional. La versión más general de la fórmula de Euler es e ^iθ = cos θ + i sin θ, que unifica exponentes y funciones trigonométricas y demuestra la unidad y la interconexión que los números imaginarios han introducido en las matemáticas. En caso de que se lo pregunte, esta fórmula responde a la molesta pregunta de qué sucede en el plano complejo cuando se gira en cualquier ángulo arbitrario y no solo en uno de 90 grados.

Espero que a través de estas búsquedas del tesoro hayas adquirido cierta apreciación y comprensión de los números complejos. Nos vemos la próxima vez para obtener más información .