Interés Simple y Compuesto - Provisión de Préstamos Basados ​​en Tasas de Interés

Acuerdo de crédito. Dinero de intereses

Desde el momento en que el dinero apareció en la tierra, la gente empezó a prestar dinero y a beneficiarse de él.

Definición 1

Una persona que presta dinero se llama acreedor.

El dinero se presta en el marco de un acuerdo hipotecario y puede hacerse de varias maneras, entre ellas la emisión de un préstamo, la venta de productos con crédito, el depósito de dinero en una cuenta de ahorros, la recepción de facturas y la compra de un bono.

Al celebrar un acuerdo de préstamo, el prestamista y el prestatario se ponen de acuerdo sobre el monto del préstamo, el momento y el método de reembolso, y el nivel de la compensación del prestamista.

Definición 2

El pago por prestar dinero, es decir, la diferencia entre el dinero devuelto por el prestatario al prestamista y el dinero pagado por el prestamista al prestatario, se denomina interés.

Utilizaremos la siguiente notación:

Z - La cantidad de dinero prestada por el prestamista y entregada al prestatario.

K es la cantidad que el prestatario devuelve al prestamista.

D- Interés.

Por Definición 2

K = Z + D. (1)

Ese tipo de acuerdo de préstamo sólo se considerará si el prestatario reembolsa al prestamista en una suma global junto con los intereses (en la cantidad K) al final del período especificado en el acuerdo de préstamo.

Tasa de Interés Anual

Definición 3. La tasa de interés anual es la relación entre el dinero que ganas cuando obtienes un préstamo por un año y el dinero que un prestamista le da a un deudor que le debe dinero.

Aquí las letras P y P se usan para mostrar el interés anual como un porcentaje y para mostrar el inventario.

Dependiendo de la definición de interés.

y por definición de la tasa de interés anual

Si se conocen los valores conocidos de la hipótesis 1.p y Z, se puede reescribir la ecuación (2).

D = pZ, y, usando la fórmula (1), obtenemos la relación para calcular la suma K : K = Z + D = Z + pZ, de lo que se deduce que al otorgar un préstamo por un período de 1 año K = Z (1 + p ). (3)

Corolario 2 . Si los valores de p y se K conocidos , entonces la suma Z se puede encontrar a partir de la fórmula (3) :

Esquema de Interés Simple

Consideremos ahora, por ejemplo, el caso en que el período de reembolso de la deuda t  se expresa en años.

Nuestro objetivo es ilustrar dos formas de calcular la cantidad de K que un prestatario devuelve a un prestamista (un cálculo que utiliza un esquema simple basado en el tipo de interés compuesto).

En particular, note que conocemos los valores de p y Z y que se calcula la suma de K.

Definición 4. En un esquema de tipo de interés simple basado en el tipo de interés anual, el prestamista recibe P por ciento de la misma cantidad de la cantidad de deuda Z pagada al prestatario cada año. En este caso, el prestamista recibe la misma cantidad del prestatario. . Recibes un interés del P por ciento sobre la cantidad de la deuda Z que has pagado.

En primer lugar, considere el caso en que un préstamo calculado con el método de interés simple se proporciona durante todo el plazo y el prestatario utiliza t = 1, 2, …… y pagar al prestamista con el préstamo durante n años. La cantidad (teniendo en cuenta los intereses) está representada por los símbolos K 1, K 1, …….. y Kn, respectivamente.

Por definición 4

K 1 = Z + pZ ,

K 2 = Z + 2 pZ = K 1 + pZ ,

…

K n = Z + npZ = K n – 1 + pZ ,

A donde sigue

Corolario 3. La cantidad a devolver por el prestatario al prestamista K1, K 1, … K n, t = 1, 2, … La cantidad (teniendo en cuenta el interés) cuando se utiliza un préstamo de interés simple basado en un tipo de interés anual n se encuentra mediante la siguiente fórmula

Luego procedemos aritméticamente usando el primer término Z(1 + p) y la diferencia pZ.

Ahora bien, si consideramos el caso en que el préstamo se calcula utilizando el método de interés simple basado en tasas de interés anuales y se proporciona en cualquier (pero no necesariamente todo) año t (en años), la relación (5) puede generalizarse de la siguiente manera. Se parece a lo siguiente.

Declaración 1. Si el acuerdo de préstamo especifica un método simple de cálculo de los intereses basado en el tipo de interés anual, el prestamista recibirá la cantidad del prestatario después de  t años.

K ( t ) = Z (1 + pt ),(6)

y el dinero de interés se calcula mediante la fórmula

D ( t ) = Z (1 + pt ) – Z = Zpt .

Observación 1.  t = n, es decir, para un préstamo a plazo completo, los cálculos de las ecuaciones (5) y (6) son los mismos.

Régimen de Interés Compuesto

Definición 5. En virtud de la capitalización basada en el interés anual, el prestamista recibe un interés, que es el P% del total de la deuda acumulada (incluido el interés) al comienzo del año, por cada año en que se recibe el préstamo. . Lo es.

Por analogía con el interés simple, primero consideramos el caso de los préstamos a interés compuesto durante todo el período y t = 1, 2, …. y la cantidad que el prestatario devolverá al prestamista en n años, respectivamente. Esto está representado por los símbolos K ₁, K ₁, …. … Denotado por K ₁, K ₁, y K _{n las}  .

Por definición 6

A donde sigue.

Corolario 4. La cantidad devuelta por el prestatario al prestamista mediante préstamos compuestos K ₁, K ₁, … K _n Está determinado por t  = 1, 2, … Determinado por el tipo de interés anual en n años. Ya está hecho.

K _metro = Z (1 + p ) ^metro ,   metro = 1, 2, …, norte(7)

Y formar una progresión geométrica con el primer término Z (1 +  p ) y el denominador (1 +  p ).

Aquí consideramos el caso de la adquisición de un préstamo en un esquema de capitalización basado en cualquier tipo de interés (no necesariamente entero) de un año t  (por año), la relación (7) se generaliza de la siguiente manera.

Declaración 2. Si el contrato de préstamo exige que el interés compuesto se calcule anualmente, el prestamista recibe la cantidad del prestatario después de t  años.

Tasas de Interés Cambiantes (flotantes)

En los dos ejemplos siguientes, el préstamo se hace con el supuesto de un tipo de interés variable.

Ejemplo 1. El prestatario recibió un préstamo de 1 millón de rublos y se suponía que debía devolverlo en un solo pago después de 0,75 años. La tasa de interés anual es del 12% para los primeros 0. 25 años y del 16% para el resto del plazo, calculado según un esquema de interés simple. Averigua cuánto dinero le devolverás al prestamista y cuánto interés tienes en él.

Solución. Utilizando el método de interés simple basado en el tipo de interés, el interés se acumula sobre el monto de la deuda Z según la ecuación (7), como se muestra en la ecuación (6).

Respuesta. El prestatario devuelve 1,1 millones de rublos al prestamista y el interés es de 100.000 rublos.

Ejemplo 2. Recibe un préstamo de 1 millón de rublos y lo devuelve en un solo pago después de 5 años. Utilizando el método de la capitalización, la tasa de interés anual es del 12% para los dos primeros años y del 16% para el resto del período. Averigua cuánto dinero le devolverás al prestamista y cuánto interés tienes en el préstamo.

Solución. Cuando se calcula con el método de la capitalización de intereses, la ecuación (8) cobra un interés anual sobre el total de la deuda acumulada en ese momento.

Respuesta. El prestatario devolvió 1.957.987,94 rublos al prestamista y el interés es de 957.987,94 rublos.

Ejemplos de Resolución de Problemas

Objetivo 1. El empresario pidió al banco un préstamo de 1 millón de rublos al año. El banco le ofreció un préstamo anual del 20%, que será devuelto en una sola cuota al final del plazo. ¿Cuánto paga el empresario al banco en un año? ¿Cuánto interés tiene el banco en ti?

Solución. En el problema, conocemos los valores de Z y p, pero necesitamos encontrar K y D.

Z = 1.000.000; p = 0,2; y el empresario devuelve al banco la suma K igual a Z + 20% de Z, es decir 120% de Z, luego K = 1,2Z = 1200000, D = 200000.

Respuesta. Si el empresario devuelve 1,2 millones de rublos al banco, el interés del banco será de 200.000 rublos.

Objetivo 2. Después del primer mes, el precio del producto aumentó un 30%; después del siguiente mes, el precio del producto cayó un 10%. ¿Cuánto cambió el precio del producto original en dos meses?

Solución. El precio original del producto está representado por la letra a. Al final del primer mes, el precio de la mercancía era igual a 1,3a. En el segundo mes, dependiendo de las circunstancias del problema, el nuevo precio de los bienes igual a 1,3a (en base a un cálculo porcentual) disminuyó en un 10% para igualar 1,3a.

Responde. El precio original aumentó un 17% en dos meses.

Objetivo 3. El precio ha aumentado en un 25 por ciento, pero ¿qué porcentaje tendría que bajar para que volviera al precio original?

Solución. Después de un aumento del 25%, el nuevo precio del producto es de 1,25c. Por lo tanto, para volver al nivel c original, el nuevo precio del producto (la base de cálculo de los intereses) debe reducirse en 0,25c. Por lo tanto, necesitamos determinar qué porcentaje de 1,25s es 0,25s.

Respuesta. El precio del artículo debe reducirse en un 20 por ciento.

Problema 4. Un depósito bancario que permanezca intacto durante un año aumentará en un 10 por ciento a finales de este año, pero si permanece intacto durante tres años, ¿qué porcentaje aumentará el depósito?

Solución. Exprese la cantidad del primer depósito con la letra Z y calcúlela según el esquema de interés compuesto. Usa la ecuación (8).

K (3) = Z (1 + 0.1) ³ = 1.331 Z

Por lo tanto, la cantidad de volumen Z sin tocar en tres años aumenta en 0,331Z. Es decir, el 33,1%.

Respuesta. La contribución aumentará en un 33,1%.

Tasa de Inflación

Definición 8. La inflación mensual es el número de porcentajes de la inflación mensual en comparación con el mes anterior.

Tarea 5. La tasa de inflación en mayo es del 5 por ciento. ¿Cuánto aumentan los precios durante el año?

Solución. La inflación es un proceso complejo. Expresando el precio de un producto básico el primer día del año en Z, podemos utilizar la ecuación (8) para calcular el precio del producto básico en un período de 12 meses.

K (12) = Z (1 + 0.05) ¹² = 1.7959 Z

Como resultado, desde principios de este año, el precio de los productos Z ha subido un 79,59% a 0.7959Z desde principios de este año.

Respuesta. Ha aumentado un 79,59% cada año.

Observación 2. Si utiliza la ecuación (6) en lugar de la ecuación (8) para resolver este problema, se referirá al cálculo según un esquema de intereses simple, lo cual es un error grave. Se dará una respuesta inexacta, indicando que los precios aumentarán un 60% este año con una tasa de inflación mensual del 5%.