Logaritmo y sus Propiedades

Un logaritmo es una función que siempre depende de dos variables. Para evitar confusiones, recuerde la definición de logaritmo.

Definición de un logaritmo, identidad logarítmica básica

Considere dos números reales arbitrarios, a y b, que satisfacen la condición.

 

 

Definición. El logaritmo del número b a a es la frecuencia con la que hay que aumentar a para obtener el número b.

Es decir, la base logarítmica de b es el número x, que es la solución de la ecuación.

a x = b. (2)

La justificación de que la solución de la ecuación (2) existe y es única está fuera del alcance del programa escolar.

Para el logaritmo de b sobre a, use la siguiente anotación.

log a b .

Así, las condiciones para todos los números reales a y b que satisfacen (1) son las siguientes

A menudo se denomina identidad logarítmica básica.

Observación. Nótese en particular que el exponente se calcula al resolver la Ecuación (2), y la solución de la Ecuación (2) es la siguiente

x ^a = b.

Encuentra la base de las notas calculadas por la fórmula.

Y si a es un número natural, es la raíz de la fuerza natural de b.

Ejemplo 1. Resolución de la ecuación.

x ³ = 81.

Solución. Utilizando el concepto de raíces cúbicas y las características del grado, se puede encontrar lo siguiente

Solución. Supongamos lo contrario. Asumamos que los números mostrados son razonables. Luego está la parte irreversible

El numerador y el denominador son números naturales y son lo mismo.

Por la definición de logaritmo, esto implica igualdad.

El resultado es igual.

2 ^m = 3 ^norte .

Pero como su izquierda es par y su derecha es impar, la igualdad final es imposible. La incoherencia resultante prueba la declaración requerida para el problema.

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades logarítmicas que se enumeran a continuación se derivan de la identidad logarítmica básica.

Resolver las ecuaciones y desigualdades logarítmicas usando las propiedades logarítmicas

Para evitar errores al resolver las ecuaciones y desigualdades logarítmicas, es necesario aplicar cuidadosamente las propiedades logarítmicas enumeradas en la sección anterior.

Por ejemplo, si necesitas transformar una ecuación al resolver una ecuación o desigualdad

log _a ( f ( x ) ² ),

entonces en lugar de la fórmula

Precaución. Si desea mejorar sus conocimientos y habilidades en la resolución de ecuaciones y desigualdades utilizando logaritmos, le recomendamos que consulte los tutoriales "Resolución de ecuaciones logarítmicas" y "Resolución de desigualdades logarítmicas".

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

El logaritmo del número decimal y el logaritmo natural ocupan un lugar importante en muchos campos de las ciencias naturales y la tecnología, incluyendo las matemáticas y la física.

El logaritmo del número decimal es un logaritmo basado en 10, y el fondo del logaritmo natural es el número trascendental e del número irracional determinado por la siguiente fórmula.

Las pruebas van más allá del programa escolar.

Los logaritmos decimales y naturales utilizan la notación.

Las gráficas de funciones logarítmicas se introducen en el libro de referencia Funciones exponenciales, Funciones exponenciales y Gráficas de funciones logarítmicas.