Números Complejos

Un conjunto complejo es un conjunto de todos los pares posibles de números reales (x, y), y la suma, la resta y la multiplicación se definen según las reglas que se describen a continuación.

El conjunto complejo es una extensión del conjunto real, ya que el conjunto real está contenido en forma de un par (x, 0), y el conjunto complejo es una extensión del conjunto real.

Los números complejos dados en pares (0, y) se llaman números puramente imaginarios.

La notación de números complejos incluye la notación algebraica, trigonométrica y exponencial.

La notación algebraica es una notación numérica compleja, y un número complejo z, dado por un par de números reales (x, y), se escribe de la siguiente manera

z = x + iy. (1)

El símbolo i, llamado unidad imaginaria, se usa aquí.

El número x se llama la parte real del número complejo z = x + i y y está representado por Rez.

El número y se llama la parte imaginaria del número complejo z = x + i, donde y está representado por Imz.

Un número complejo con Im z = 0 es un número real.

Un número complejo con Re z = 0 es puramente imaginario.

Hablaremos más sobre la trigonometría compleja y la notación exponencial un poco más tarde.

Suma, resta y multiplicación de números complejos escritos en forma algebraica

Números complejos conjugados

Dos números complejos z = x + iy y

Un número conjugado complejo es un número con la misma parte real y un signo diferente para la parte imaginaria.

La operación de transición de un número complejo a su número conjugado complejo se denomina operación conjugada compleja, denotada por una barra horizontal sobre el número complejo, y satisface las siguientes propiedades.

Módulo de números complejos

El valor absoluto del número complejo z = x + i El valor absoluto de y es el número real representado por|. z | y está determinado por la ecuación

Para un número complejo z, la siguiente ecuación es válida

Además, para los números complejos z1 y z2, se satisface la siguiente desigualdad

Precaución. Si z es un número real, su valor absoluto es igual a su valor absoluto.

División de números complejos escritos en forma algebraica

Utilizando el módulo complejo y la notación de conjugado complejo, el cociente de la división de un número complejo puede expresarse como

La división por cero está prohibida.

Representación de números complejos por vectores de radio del plano de coordenadas

Considere un plano dado un sistema de coordenadas Oxy ortogonales. Recuerde que los vectores de radio en el plano son vectores que coinciden con el origen del sistema de coordenadas.

Un plano considerado como un plano complejo se denomina plano complejo, donde el número complejo z = x + i y está representado por el radio vector de las coordenadas (x, y).

Llamamos al eje de abscisas Ox eje real y al eje de ordenadas Oy – eje imaginario.

En esta representación de números complejos, la suma de los números complejos corresponde a la suma de los vectores de radio, y el producto de los números complejos y los números reales corresponde al producto de los vectores de radio.

Argumento de número complejo

Considere el vector del radio de cualquier número complejo z.

El argumento del complejo número z es la dirección positiva del eje real y el ángulo φ formado por el vector de radio z.

El argumento del complejo z es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección positiva del eje real hacia el vector del radio z y negativo cuando se gira en sentido de las agujas del reloj (véase la figura).

Se considera que los números complejos no tienen argumentos de cero.

Dado que los argumentos de un número complejo se determinan hasta el término 2kπ, donde k es un número entero arbitrario, se introduce el valor principal del argumento que satisface la desigualdad, denotado por arg z.

Para el número complejo z = x + i, a partir del módulo r = | z | y su argumento φ, podemos encontrar las partes reales e imaginarias en la siguiente ecuación

Si el número complejo z = x + i y se da algebraicamente, es decir, se conocen los números x y y, el módulo de este número está, por supuesto, determinado por la siguiente ecuación

Los argumentos se determinan entonces de acuerdo con la tabla 1 que sigue a continuación.

Para evitar la sobrecarga de registros, acordamos representar los números enteros de la Tabla 1 con el símbolo k.

Tabla 1.- Ecuación para determinar el argumento del número z = x + iy

Notación trigonométrica de un número complejo

De la ecuación (3), vemos que un número complejo distinto de cero, z = x + iy, puede escribirse de la siguiente manera

z = r (cos φ + i sen φ),(cinco)

donde r y φ son este número de módulos y argumentos, respectivamente, y los módulos satisfacen la desigualdad r> 0.

La notación de los números complejos de la forma (5) se llama la notación trigonométrica de los números complejos.

Fórmula de Euler. Notación exponencial de un número complejo

En la clase de "Teoría de las Funciones de las Variables Complejas" estudiada por estudiantes de educación superior, se prueba una importante fórmula llamada la fórmula de Euler.

cos φ + yo pecado φ = e yo φ .(6)

A partir de la fórmula de Euler (6) y de la fórmula de las funciones trigonométricas complejas (5), el número complejo no nulo z = x + iy puede escribirse de la siguiente manera

z = re yo φ ,(7)

donde r y φ son los módulos y argumentos de este número, respectivamente, y los módulos satisfacen la desigualdad r> 0.

El registro de un número complejo en forma de (7) se denomina la forma exponencial de registro de un número complejo.

La ecuación (7) significa específicamente la siguiente ecuación.

Y a partir de las ecuaciones (4) y (6), el módulo de números complejos

cosφ+Isinφ.

O, para cualquier valor que sea el mismo y cuyo φ sea igual a 1, representan el número y iφ.

Multiplicación, división y elevación a potencia natural de números complejos escritos en forma exponencial

La notación exponencial compleja es muy útil para multiplicar, dividir y elevar los números complejos a las potencias naturales.

Por lo tanto, multiplicando un número complejo se multiplica el módulo y se añade un argumento.

Dividiendo dos números complejos se obtiene el coeficiente de su cociente igual al cociente de sus módulos, y el argumento del cociente es igual a la diferencia entre los argumentos del divisor y del divisor.

Para elevar el número complejo z = reiφ a un número natural, use la siguiente fórmula.

En otras palabras, si quieres multiplicar un número complejo por la potencia de un número natural, multiplica el exponente a esta potencia y multiplica el argumento por el exponente.

Extraer la raíz natural de un número complejo

Nótese que dos números complejos escritos en forma exponencial son iguales sólo si sus valores absolutos son los mismos y la diferencia entre los argumentos es 2kπ. Así, la expresión

También, en el plano complejo, un vector de radios z k, k = 0, …. el borde de un vector de n -1 está en el vértice de un polígono regular inscrito en un círculo de radio

Los números complejos extraen las raíces naturales de un número complejo centrado en el origen.

Notas. Para n = 2, la Ecuación (8) tiene dos raíces diferentes z1 y z2 con signos diferentes.

z 2 = – z 1.

Ejemplo 1. Encontrar todas las raíces de la ecuación

z ³ = – 8 yo .

Solución. Porque el

Entonces obtenemos por la ecuación (1). (10).

Solución. Como el valor discriminante de esta ecuación cuadrática es negativo, no hay raíces reales. Para encontrar las raíces complejas, seleccione el cuadrado completo como en el caso real.