Números complejos: qué son, símbolo, formas y operaciones
Un número complejo es un número de la forma \( z = a + bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales e \( i \) es la unidad imaginaria, que cumple \( i^2 = -1 \). El conjunto de todos los números complejos se representa con el símbolo \( \mathbb{C} \).
Dicho de forma más sencilla: los números complejos amplían los números reales para que ecuaciones como \( x^2 + 1 = 0 \) tengan solución. Un número complejo tiene dos partes, una real y otra imaginaria, y se puede dibujar como un punto de un plano.
En resumen
- Símbolo del conjunto: \( \mathbb{C} \). Unidad imaginaria: \( i \), con \( i^2 = -1 \) (en electricidad se escribe \( j \)).
- Forma binómica: \( z = a + bi \). \( a \) es la parte real y \( b \), la parte imaginaria.
- Forma polar: \( z = r_\alpha \), con módulo \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) y argumento \( \alpha \).
- Operaciones: se suman y multiplican como polinomios, cambiando \( i^2 \) por \( -1 \); para dividir se multiplica por el conjugado.
- Los números reales son los complejos con parte imaginaria cero: \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \).
Los números complejos se estudian en 1.º de Bachillerato (Matemáticas I) y se usan después en Física, Ingeniería y en la universidad.
Índice de Contenido
Antes de empezar: tres ideas que necesitas
1. Una ecuación sin solución real
La ecuación \( x^2 + 1 = 0 \) pide un número que, al elevarlo al cuadrado, dé \( -1 \). Ningún número real lo cumple, porque el cuadrado de un real nunca es negativo. Igual que los negativos se inventaron para que \( x + 5 = 2 \) tuviera solución, los complejos se inventaron para que la tengan ecuaciones como esta.
2. Los conjuntos de números y sus símbolos
Cada conjunto de números contiene al anterior, y cada uno tiene su símbolo:
| Conjunto | Símbolo | Ejemplos |
|---|---|---|
| Naturales | \( \mathbb{N} \) | \( 1, 2, 3 \) |
| Enteros | \( \mathbb{Z} \) | \( -2, 0, 5 \) |
| Racionales | \( \mathbb{Q} \) | \( \tfrac{3}{4}, -0{,}5 \) |
| Reales | \( \mathbb{R} \) | \( \sqrt{2}, \pi \) |
| Complejos | \( \mathbb{C} \) | \( 3 + 2i, \ i, \ 7 \) |
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]
3. Qué es i
La unidad imaginaria \( i \) es un número nuevo con una sola regla especial: \( i^2 = -1 \). A veces se escribe \( i = \sqrt{-1} \), pero con cuidado: con raíces de números negativos no valen todas las reglas de las raíces (lo verás en los errores comunes).
Los símbolos de los números complejos
| Símbolo | Significado | Ejemplo con \( z = 3 + 4i \) |
|---|---|---|
| \( \mathbb{C} \) | Conjunto de los números complejos | \( z \in \mathbb{C} \) |
| \( i \) (o \( j \)) | Unidad imaginaria, \( i^2 = -1 \) | — |
| \( \operatorname{Re}(z) \) | Parte real | \( 3 \) |
| \( \operatorname{Im}(z) \) | Parte imaginaria | \( 4 \) |
| \( \overline{z} \) | Conjugado | \( 3 - 4i \) |
| \( \lvert z \rvert \) | Módulo | \( 5 \) |
| \( \arg(z) \) | Argumento | \( \approx 53{,}13^\circ \) |
| \( r_\alpha \) | Forma polar | \( 5_{53{,}13^\circ} \) |
La forma binómica
Forma binómica. Todo número complejo se puede escribir como
\[ z = a + bi, \qquad a, b \in \mathbb{R} \]
donde \( a = \operatorname{Re}(z) \) es la parte real y \( b = \operatorname{Im}(z) \) es la parte imaginaria.
En palabras sencillas: un número complejo es «un trozo real más un trozo imaginario». Ojo: la parte imaginaria es el número \( b \), sin la \( i \).
Mini ejemplo. En \( z = -2 + 7i \), la parte real es \( -2 \) y la imaginaria es \( 7 \).
- Si \( b = 0 \), el número es real: \( 5 = 5 + 0i \).
- Si \( a = 0 \) y \( b \ne 0 \), es imaginario puro: \( 3i \).
- El conjugado de \( a + bi \) es \( a - bi \) (solo cambia el signo de la parte imaginaria), y el opuesto es \( -a - bi \).
Las potencias de i
Como \( i^2 = -1 \), las potencias de \( i \) se repiten cada cuatro:
| \( i^0 \) | \( i^1 \) | \( i^2 \) | \( i^3 \) | \( i^4 \) | \( i^5 \) | \( i^6 \) | \( i^7 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( i \) | \( -1 \) | \( -i \) | \( 1 \) | \( i \) | \( -1 \) | \( -i \) |
Truco: para calcular \( i^n \), divide \( n \) entre \( 4 \) y quédate con el resto. Por ejemplo, \( 27 = 4 \cdot 6 + 3 \), así que \( i^{27} = i^3 = -i \).
Representación gráfica: el plano complejo
Cada número complejo \( a + bi \) se dibuja como el punto \( (a, b) \), llamado su afijo. El eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario. El conjugado es el simétrico respecto del eje real, y el opuesto, el simétrico respecto del origen.
Operaciones en forma binómica
Suma y resta
En palabras sencillas: reales con reales e imaginarias con imaginarias, como cuando sumas \( 3x + 2 \) y \( x + 5 \).
Multiplicación
En palabras sencillas: multiplica como si fueran binomios (todos con todos) y al final cambia \( i^2 \) por \( -1 \). No hace falta memorizar la fórmula.
Mini ejemplo. \( (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i^2 = 4 + 9 = 13 \). Un número por su conjugado siempre da un número real: \( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \).
División
Para dividir, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador:
\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \]
En palabras sencillas: es el mismo truco que para quitar raíces del denominador (racionalizar): multiplicar por algo que haga desaparecer la \( i \) de abajo.
Módulo, argumento y forma polar
Módulo y argumento. El módulo de \( z = a + bi \) es la distancia de su afijo al origen, y el argumento es el ángulo que forma con el semieje real positivo:
\[ r = \lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ \tan \alpha = \frac{b}{a} \]
Con ellos, \( z \) se escribe en forma polar, \( z = r_\alpha \), o en forma trigonométrica, \( z = r(\cos \alpha + i \operatorname{sen} \alpha) \).
En palabras sencillas: la forma binómica dice «cuánto a la derecha y cuánto arriba»; la polar dice «a qué distancia y en qué dirección», como un radar.
Mini ejemplo. Para \( z = 3 + 4i \): \( r = \sqrt{9 + 16} = 5 \) y \( \tan \alpha = \tfrac{4}{3} \), así que \( \alpha \approx 53{,}13^\circ \) y \( z = 5_{53{,}13^\circ} \).
¿Por qué es útil la forma polar?
Porque multiplicar es muy fácil: se multiplican los módulos y se suman los argumentos:
\[ r_\alpha \cdot s_\beta = (r \cdot s)_{\alpha + \beta} \]
Por ejemplo, \( 2_{30^\circ} \cdot 3_{60^\circ} = 6_{90^\circ} = 6i \). Por eso multiplicar por \( i = 1_{90^\circ} \) es girar \( 90^\circ \), como se ve en el acertijo del tesoro pirata, y por eso las potencias se calculan con la fórmula de De Moivre.
Cómo pasar de forma binómica a polar, paso a paso
- Dibuja el afijo \( (a, b) \) para ver en qué cuadrante está.
- Calcula el módulo: \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \).
- Calcula el ángulo de referencia con \( \arctan \left\lvert \tfrac{b}{a} \right\rvert \).
- Colócalo en su cuadrante con esta tabla:
Cuadrante Signos Argumento 1.º \( a > 0, \ b > 0 \) \( \alpha \) 2.º \( a < 0, \ b > 0 \) \( 180^\circ - \alpha \) 3.º \( a < 0, \ b < 0 \) \( 180^\circ + \alpha \) 4.º \( a > 0, \ b < 0 \) \( 360^\circ - \alpha \) - Escribe \( z = r_{\text{argumento}} \) y comprueba con la calculadora.
Truco: la calculadora no sabe en qué cuadrante estás; el dibujo sí. Haz siempre el dibujo.
Explicación en vídeo
Si quieres verlo explicado en la pizarra, en este vídeo de unicoos se explica cómo pasar un número complejo de forma binómica a polar (8 minutos):
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 (básico): sumar y restar
Calcula \( (3 + 2i) + (1 - 5i) \) y \( (3 + 2i) - (1 - 5i) \).
Paso 1. Suma: \( (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i \).
Paso 2. Resta: \( (3 - 1) + (2 + 5)i = 2 + 7i \). Cuidado con el signo: restar \( -5i \) es sumar \( 5i \).
Ejemplo 2 (básico): multiplicar
Calcula \( (2 + 3i)(4 - i) \).
Paso 1. Todos con todos: \( 8 - 2i + 12i - 3i^2 \).
Paso 2. Cambia \( i^2 \) por \( -1 \): \( 8 + 10i + 3 = 11 + 10i \).
Ejemplo 3 (intermedio): dividir
Calcula \( \dfrac{3 + 4i}{1 - 2i} \).
Paso 1. Multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, \( 1 + 2i \).
Paso 2. Denominador: \( (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5 \).
Paso 3. Numerador: \( (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = -5 + 10i \).
Paso 4. \( \dfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i \).
Comprobación. \( (-1 + 2i)(1 - 2i) = -1 + 2i + 2i - 4i^2 = 3 + 4i \). ✓
Ejemplo 4 (nivel examen): pasar a forma polar
Escribe \( z = -1 + \sqrt{3}\,i \) en forma polar.
Paso 1. Afijo \( (-1, \sqrt{3}) \): segundo cuadrante.
Paso 2. Módulo: \( r = \sqrt{1 + 3} = 2 \).
Paso 3. Ángulo de referencia: \( \arctan \sqrt{3} = 60^\circ \). En el segundo cuadrante: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Paso 4. \( z = 2_{120^\circ} = 2(\cos 120^\circ + i \operatorname{sen} 120^\circ) \).
Ejemplo 5 (nivel examen): una ecuación de segundo grado
Resuelve \( x^2 - 4x + 13 = 0 \).
Paso 1. Discriminante: \( 16 - 52 = -36 \). Es negativo: no hay soluciones reales.
Paso 2. \( \sqrt{-36} = 6i \), así que \( x = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \).
Comprobación. \( (2 + 3i)^2 - 4(2 + 3i) + 13 = (-5 + 12i) - 8 - 12i + 13 = 0 \). ✓ Las dos soluciones son conjugadas, como pasa siempre en las ecuaciones con coeficientes reales.
Para qué sirven los números complejos
- Electricidad: la corriente alterna se calcula con números complejos; los ingenieros escriben \( j \) en lugar de \( i \) porque la \( i \) ya se usa para la intensidad.
- Señales y sonido: el tratamiento de audio, imágenes y comunicaciones (móviles, wifi) se basa en ellos.
- Giros: multiplicar por un complejo es girar y escalar, algo que se usa en gráficos por ordenador.
- Fractales: el famoso conjunto de Mandelbrot se dibuja repitiendo \( z^2 + c \) con números complejos.
Un poco de historia
Las raíces de números negativos aparecieron por primera vez al resolver ecuaciones de tercer grado. Gerolamo Cardano se topó con ellas en su Ars Magna (1545) y las consideró inútiles, y poco después Rafael Bombelli dio en su Álgebra (1572) las reglas para operar con ellas. En 1637, René Descartes las llamó «imaginarias», un nombre que se quedó, y en el siglo XVIII Leonhard Euler popularizó la letra \( i \).
Entre 1797 y 1806, Caspar Wessel y Jean-Robert Argand tuvieron, cada uno por su cuenta, la idea de dibujarlos en un plano, y en 1831 Carl Friedrich Gauss los llamó «números complejos» y les dio la forma con la que los usamos hoy.
Errores comunes
- Olvidar que \( i^2 = -1 \). En \( (2 + 3i)(4 - i) \), el término \( -3i^2 \) vale \( +3 \).
- Decir que la parte imaginaria de \( 3 + 4i \) es \( 4i \). Es \( 4 \), sin la \( i \).
- Usar mal las raíces negativas. \( \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = 2i \cdot 3i = 6i^2 = -6 \), no \( \sqrt{36} = 6 \). Pasa primero a \( i \) y luego opera.
- Equivocarse de cuadrante en el argumento. \( -3 - 4i \) y \( 3 + 4i \) dan el mismo \( \tfrac{b}{a} \), pero sus argumentos difieren en \( 180^\circ \).
- Cambiar mal el conjugado. El conjugado de \( -2 + 5i \) es \( -2 - 5i \): solo cambia el signo de la parte imaginaria.
- Dividir sin usar el conjugado. \( \frac{1}{2 + 3i} \) no es \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3i} \).
Resumen en una tabla
| Concepto | Fórmula o regla |
|---|---|
| Conjunto | \( \mathbb{C} \), con \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \) |
| Unidad imaginaria | \( i^2 = -1 \); las potencias se repiten cada 4 |
| Forma binómica | \( a + bi \) |
| Conjugado | \( \overline{a + bi} = a - bi \) |
| Módulo | \( \lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} \) |
| Forma polar | \( r_\alpha = r(\cos \alpha + i \operatorname{sen} \alpha) \) |
| División | Multiplicar por el conjugado del denominador |
| Producto en polar | \( r_\alpha \cdot s_\beta = (rs)_{\alpha + \beta} \) |
Ejercicios para practicar
Nivel 1: forma binómica
- Calcula \( i^{27} \).
Ver solución paso a paso
\( 27 = 4 \cdot 6 + 3 \), así que \( i^{27} = i^3 = -i \).
- Calcula \( (1 + i)^2 \).
Ver solución paso a paso
\( 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \).
- Calcula el módulo de \( 6 - 8i \).
Ver solución paso a paso
\( \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
Nivel 2: división y formas
- Calcula \( \dfrac{5 - i}{2 + 3i} \).
Ver solución paso a paso
Multiplica por \( 2 - 3i \). Denominador: \( 4 + 9 = 13 \).
Numerador: \( (5 - i)(2 - 3i) = 10 - 15i - 2i + 3i^2 = 7 - 17i \).
Resultado: \( \dfrac{7}{13} - \dfrac{17}{13}\,i \).
- Escribe \( 1 + i \) en forma polar.
Ver solución paso a paso
\( r = \sqrt{2} \); primer cuadrante, \( \alpha = \arctan 1 = 45^\circ \). \( 1 + i = \sqrt{2}_{45^\circ} \).
- Escribe \( 4_{30^\circ} \) en forma binómica.
Ver solución paso a paso
\( 4(\cos 30^\circ + i \operatorname{sen} 30^\circ) = 4\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{2}i\right) = 2\sqrt{3} + 2i \).
Nivel 3: problemas
- Resuelve \( x^2 + 2x + 5 = 0 \).
Ver solución paso a paso
Discriminante: \( 4 - 20 = -16 \), y \( \sqrt{-16} = 4i \).
\( x = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \).
- Escribe \( -3 - 3i \) en forma polar.
Ver solución paso a paso
\( r = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \). Tercer cuadrante; ángulo de referencia \( 45^\circ \), así que el argumento es \( 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ \).
\( -3 - 3i = (3\sqrt{2})_{225^\circ} \).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el símbolo de los números complejos?
El conjunto de los números complejos se representa con la letra \( \mathbb{C} \) (una C con doble trazo). La unidad imaginaria se escribe \( i \), o \( j \) en ingeniería eléctrica.
¿Qué es un número complejo?
Es un número de la forma \( a + bi \), con \( a \) y \( b \) reales e \( i^2 = -1 \). Tiene una parte real, \( a \), y una parte imaginaria, \( b \).
¿Un número real es un número complejo?
Sí: es un complejo con parte imaginaria cero. Por ejemplo, \( 7 = 7 + 0i \). Por eso \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \).
¿Cuánto vale i?
\( i \) es el número que cumple \( i^2 = -1 \). Se suele escribir \( i = \sqrt{-1} \), pero hay que tener cuidado al operar con raíces de negativos.
¿Para qué sirven los números complejos?
Para resolver todas las ecuaciones polinómicas, para calcular circuitos de corriente alterna, para procesar señales y para describir giros en el plano, entre muchas otras cosas.
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