Trucos de magia - El juego de 21 cartas

En la tradición popular, los juegos de cartas siempre han ocupado un lugar especial en la vida cotidiana de grandes y pequeños. Además de los juegos de grupo más famosos como la brisca, la escoba y el burro, hay algunos que han encantado a generaciones de niños que, asombrados, podían imaginar aunque fuera por un momento que la magia realmente existía. Seguramente entre estos los juegos de magia, con cartas escondidas un poco aquí y allá para la ropa, o con astucia en barajarlas son los más populares. 

Con el tiempo, sin embargo, muchos de estos "hechizos" han revelado su engaño y solo unos pocos parecen sorprender incluso a los adultos, sin saber cuánto las matemáticas ocultas en un juego de cartas aún pueden engañar que el misterio del buen resultado solo puede explicarse. a través de la magia. En este artículo hemos elegido presentarte el llamado juego de las "21 cartas" o "tres barajas". 

Orden de las cartas del truco

En este juego el "mago" de turno dispone de un mazo de 21 cartas que inicialmente divide en tres columnas de 7 cartas cada una, cuidando de colocarlas boca arriba y dividirlas por filas en el siguiente orden:

Se le pedirá al jugador que elija una carta y que indique solo la columna en la que se encuentra. En este punto el mago deberá reunir la baraja colocando la columna indicada entre las dos restantes, sin alterar la posición de las cartas en las respectivas columnas.

Por ejemplo, haciendo referencia a la fig.1, si la carta elegida es 10, reposicionaremos la primera columna ordenada (1,4,7,10,13,16,19) entre la segunda y la tercera (también mantenidas en orden).

El mazo se dividirá en tres columnas como se hizo anteriormente, luego el jugador indicará nuevamente la columna en la que se encuentra la carta elegida y en consecuencia se volverá a armar el mazo utilizando el mismo método.

Repetido este procedimiento por tercera vez, entonces "mágicamente" la carta a adivinar será la undécima de la baraja.  Como puede ver, en la descripción del juego, no hay subterfugios, el juego se desarrolla linealmente y sin trampas. Nos preguntamos ahora: ¿Será todo una coincidencia? ¿Podemos encontrar una regla que haga todo más razonable, haciendo obvio un juego cuyo resultado puede parecer sorprendente?

Antes de profundizar en la mecánica del juego, intentemos dar un nombre y un orden a los objetos y las reglas. Los objetos de nuestro juego son veintiuna cartas cuyas posiciones en la baraja indicaremos con

(la razón por la que no usamos la notación

se aclarará más adelante). Atención: con

la  indicamos el

ésima carta de la baraja (por ejemplo

es la carta superior), por lo que si se baraja _el mazo, puede representar una carta diferente. De esta manera, estamos ubicando las cartas únicamente en función de su posición en el mazo. Un paso fundamental del juego es el de subdividir la baraja en columnas (como en el ejemplo de la fig.1), traduciendo a un lenguaje más técnico, vamos colocando las veintiuna cartas en una mesa formada por 7 filas (fila0, fila1,…, fila6) y 3 columnas (columna0, columna1, columna 2) como en la figura 2:

Más precisamente, dada una carta genérica que llamaremos

ocupará una determinada   posición en el mazo, es decir, se identificará de forma única en una 

Dónde está

(a partir de ahora la operación que asocia la tarjeta se indicará con "→".

a uno

asi que

En la etapa de división en columnas (y filas),

se colocará en una determinada casilla de la tabla o podemos identificarla inequívocamente asignándole un número de fila y columna que denotamos con

Para identificar en qué casilla terminará la carta

solo observe que: realizar la división de

con 3 obtendremos por tanto un cociente

y un descanso

entonces la tarjeta se colocará en la fila

y en la columna

Por ejemplo, si consideramos la carta en

 

entonces dividiendo por el resto obtenemos que

por lo tanto

y

por lo tanto, como podemos comprobar en la fig.2, dicha tarjeta se colocará en la ubicación

es decir, fila 4 y columna 2.

____________________________________

Una observación puramente matemática: los índices

de una columna fija

son tales que

Por lo tanto

identificar un módulo de clase de equivalencia 3.

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Poder localizar la carta genérica con un sistema de coordenadas fila/columna es muy útil para identificar con certeza la posición que ocupará la carta en el mazo tras elegir la columna y posterior barajado, es decir: Elegir la columna en la que se encuentra la carta la baraja se volverá a unir colocando la columna indicada entre las otras dos, esto quiere decir que en la baraja reensamblada las cartas de la columna elegida estarán entre la octava y la decimotercera, es decir estarán en las posiciones

del nuevo mazo y en particular: consideremos una carta

como sabemos, una ubicación específica de fila/columna se asociará con esta tarjeta

Dónde está

Y

y, notando que r representa justo después de cuántas cartas de la columna c se encuentran

(p.ej

 asume el contrato de arrendamiento

es decir, es la cuarta carta de la columna 2), si existe la columna elegida, la carta en el reordenamiento de la baraja

 irá a una nueva posición en el mazo, por lo tanto

Dónde está

como antes

estarán las siete cartas de la primera columna más las

cartas que mienten antes

en la columna elegida

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 Matemáticamente: Por lo tanto, estamos definiendo una permutación en los índices k, es decir, una correspondencia uno a uno (una correspondencia uno a uno) que llamo π de {0,1,…,20} en   {0,1,… ,20} así definido:

tal que:

ser

S está en la columna elegida entonces

Dónde está

es el cociente de dividir k por 3. Tenga en cuenta que no estamos definiendo

globalmente pero solo para los índices de la columna elegida ya que nos interesa saber con precisión cómo se "mueven" las posibles soluciones dentro del mazo.

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Observamos que la posición que asume la carta en la baraja reordenada depende exclusivamente de la fila en la que se encuentra y no de la columna.

Teniendo la notación y herramientas definidas anteriormente, entendemos que el juego resultará verdadero si en cualquier caso, al final de la "secuencia mágica" la carta elegida será siempre la undécima, es decir, la que está en la posición

Al dividir el juego en tres fases, cada una de las cuales consiste en: división del mazo en columnas, elección y reordenamiento, y analizándolo paso a paso, obtenemos:

Primer paso: El primer paso es colocar las cartas en una mesa como en la fig.2. En este punto se invita al jugador a elegir una carta entre las veintiuna que le indicaremos con

de donde obviamente tenemos que en la situación inicial

Dónde está ,

es decir, 21 soluciones posibles. El juego continúa eligiendo la columna en la que está x y reorganizando el mazo para que la columna elegida esté en el medio. Por la observación anterior después de esta primera fase en la nueva baraja la carta elegida seguramente estará entre la octava y la decimocuarta carta o mejor dicho

con

por lo tanto, la primera ronda reduce las posibilidades a solo 7 de 21 cartas.

Segunda fase: continuando con el juego, el mazo reorganizado ahora se divide nuevamente en filas y columnas como en la fig.2. En esta etapa, sin embargo, sabemos que

por lo tanto

se colocará en una ubicación del tipo (2,c),(3,c) o (4,c) o bien se encontrará en la tercera o en la cuarta o en la quinta fila como podemos ver en la figura.

Ahora, una vez que se encuentra la columna donde se encuentra x, se reorganiza la baraja y como hemos observado, en la baraja reorganizada

′

con

Y

es la fila donde se puede encontrar

pero como hemos observado que

, Como consecuencia

En esta segunda fase hemos reducido las posibilidades a 3 de 21 cartas.

Tercera fase: Dividimos la baraja en filas y columnas por última vez y considerando que

inferimos que

seguramente se encontrará en la cuarta línea, por lo tanto asumirá una ubicación (3,c) como podemos ver en la figura:

Indicamos la columna en la que se encuentra la carta elegida, organizamos el mazo y dado que en cualquier caso x se encontrará en la cuarta fila (tendrá la ubicación (3,c)) podemos concluir que en el mazo ensamblado

Dónde está

y desde

tenemos x en la posición

En conclusión obtenemos que, en cualquier caso, la carta x elegida al inicio, siguiendo los procedimientos del juego, acabará correspondiendo a

es decir, será la undécima carta de la baraja.

Video destripando matemáticamente el truco de las 21 cartas

En este video vemos la explicación aritmética del popular truco de las 21 cartas: