Que es la Geometría y Tipos de Geometría

La geometría es un campo de las matemáticas que se ocupa de la forma de los objetos individuales, las relaciones espaciales entre varios objetos y las propiedades del espacio circundante. Es una de las primeras disciplinas matemáticas que surgió como respuesta a problemas prácticos, como la geomorfología, y deriva su nombre de la palabra griega que significa "medición de la tierra".

Con el tiempo, la geometría no tiene por qué limitarse al estudio de objetos tridimensionales planos (geometría planar) o rígidos (geometría tridimensional). Incluso las ideas e imágenes más abstractas son términos geométricos. Se entiende que pueden ser representados y desarrollados en

Este artículo comienza con una breve guía de los principales puntos de inflexión en la geometría y procede a un amplio tratamiento histórico.

Ramas o Tipos de Geometría

Algunos de los mejores tipos de geometría son :

• La geometría euclidiana
• geometría analítica
• Geometría Proyectiva.
• Geometría diferencial.
• Geometría no euclidiana
• geometría analítica
• geometría analítica elemental
• geometría
• forma plana
• estructura molecular
• topología

Principales Ramas de La Geometría

Geometría euclidiana

Varias culturas antiguas han desarrollado geometrías adecuadas para las relaciones entre la longitud, el área y el volumen de los objetos físicos. Esta geometría fue codificada en los "elementos" de Euclides alrededor del 300 A.C. y se basa en diez axiomas (postulados), y cientos de teoremas han sido probados por la lógica deductiva. Los Elementos han encarnado el método de deducción axiomática durante siglos.

Geometría Analítica

La geometría analítica fue iniciada por el matemático francés René Descartes (1596-1650). Introdujo las coordenadas cartesianas para encontrar puntos, permitiendo que las líneas y curvas sean representadas por ecuaciones algebraicas. La geometría algebraica extendió este tema a los espacios multidimensionales no euclidianos.

Geometría Proyectiva

La geometría proyectiva, derivada del matemático francés Girard des Artse (1591-1661), trata de la imagen de una figura geométrica, una propiedad que no cambia cuando se proyecta una "sombra" sobre otra superficie. Está dirigido.

Geometría Diferencial

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) comenzó el campo de la geometría diferencial en relación con los problemas prácticos de la topografía y la geodesia. El cálculo se utilizó para caracterizar las propiedades intrínsecas de las curvas y las superficies. Por ejemplo, se demostró que la curvatura intrínseca de un cilindro es la misma que la de un plano, pero la curvatura de una esfera que no puede ser aplanada sin distorsión no es la misma que la de una esfera que no puede ser aplanada sin distorsión, como se puede ver cortando y aplanando un cilindro a lo largo de su eje. Eso.

Geometrías no Euclidianas

Desde el siglo XIX, algunos matemáticos han reemplazado la proposición paralela de Euclides de que si un punto no está en una línea, una línea que lo atraviese puede ser dibujada exactamente paralela a la línea. Yo sustituí esa sugerencia. Querían probar que la alternativa era lógicamente imposible. En cambio, encontraron que hay una geometría no euclidiana consistente.

Geometría Analítica

La geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas, considera los objetos geométricos en el plano de coordenadas. Por ejemplo, el hecho de que los lados opuestos de un paralelogramo sean paralelos significa que si escribes una ecuación lineal en cada lado, las pendientes serán exactamente las mismas.

Geometría Analítica Elemental

Apolonio de Perga (260-620 A.C.), conocido como el "Gran Geómetra", predijo el desarrollo de la geometría analítica a lo largo de 1800 años en su libro Cónicas. Definió la intersección de un cono y un plano como un cono (ver diagrama). Usando los resultados de las sectas de triángulo y círculo de la relación euclidiana, encontró los dos ángulos rectos de cualquier punto P del cono, la distancia al eje mayor del cono, y el eje que encontré. Estas distancias corresponden a las coordenadas de P, y la relación entre estas coordenadas corresponde a la ecuación cuadrática del cono. Apolonio usó esta relación para inferir las propiedades decónicas básicas del cono.

La geometría analítica ha tenido el mayor impacto en las matemáticas a través del cálculo. Los matemáticos griegos clásicos como Arquímedes (285-212 / 211 a.C.) no utilizaron la potencia del cálculo para encontrar las tangentes y los puntos finales (integrales diferenciales), que son defectos fundamentales en el cálculo. Resolvieron el caso único de encontrar la longitud, el área y el volumen de un arco (integral). Los matemáticos del Renacimiento volvieron a estos problemas por las necesidades de la astronomía, la óptica, la navegación, la guerra y el comercio. No es sorprendente que hayan utilizado el poder del álgebra para limitar e investigar un creciente rango de curvas.

Geometría Descriptiva

La geometría gráfica es una disciplina creada en el siglo XVIII para sistematizar y prosperar en el diseño, pero las enseñanzas de la geometría gráfica de entonces no tenían nada que ver con el diseño. La geometría gráfica, al igual que las matemáticas y la física, es una ciencia pura y requiere que los estudiantes se involucren en un alto grado de abstracción para comprender sus técnicas de representación y sus deficiencias geométricas. Además, el uso de recursos informáticos en la enseñanza de la geometría gráfica tiene un gran potencial, pero todavía se descuida. Los gráficos por ordenador están presentes en todos los sistemas de diseño asistido por ordenador hoy en día, pero sus usuarios tienen poca o ninguna conexión entre las herramientas CAD y la geometría gráfica. Las proyecciones, vistas y curvas paramétricas son a menudo conceptos de ambos mundos, que corren a través de la geometría vectorial de un sistema CAD.

Este documento presenta una nueva metodología aplicada para avanzar en el aprendizaje de la geometría basada en un nuevo enfoque del contenido ideal y el uso del aprendizaje basado en el diseño. Usaremos este nuevo enfoque en el aula y lo compararemos con las clases tradicionales. El objetivo es crear un nuevo paradigma para la enseñanza de la geometría gráfica y asegurar que se traduzca en herramientas de diseño.

Geometría Plana

El estudio de la geometría plana puede dividirse en dos tipos principales: la geometría plana, que se ocupa de sólo dos dimensiones, y la estereometría, que se ocupa de las tres dimensiones. El mundo que nos rodea es obviamente tridimensional, con anchura, profundidad y altura. La geometría sólida se ocupa de objetos en el espacio, como cubos y esferas.

La geometría plana trata de objetos planos que pueden ser dibujados en papel plano, como triángulos y líneas.

Orígenes de la Geometría Plana

La geometría del plano, y mucha estereoquímica, fue establecida por primera vez por los griegos hace unos 2000 años. Euclides, en particular, hizo importantes contribuciones en este campo en su libro Elements, el primer tratado profundo y metodológico sobre el tema. En particular, construyó una secuencia capa por capa de pasos lógicos, mostrando sin duda que cada paso seguía lógicamente al anterior.

La geometría se trata realmente de dos cosas:

• Los objetos y sus propiedades. Análisis de puntos, líneas, triángulos, etc.
• Una metodología para demostrar que las afirmaciones hechas sobre un objeto son realmente verdaderas.

Topología

La topología es el campo más joven y sofisticado de la geometría, con propiedades de los objetos geométricos que no cambian con la deformación continua. Mi enfoque está en. El desarrollo continuo de la topología se remonta a 1911, cuando el matemático holandés LEJ Brouwer (1881-1966) introdujo un método de aplicación general.

Historia De La Geometría

El ejemplo más antiguo y obvio que se ha registrado de Egipto y Mesopotamia alrededor del 3100 a.C. es que los antiguos ya habían inspeccionado la tierra, construido edificios y almacenado naves de almacenamiento. Muestra que había empezado a idear reglas y técnicas matemáticas para ayudarle a medir. Desde el siglo VI a.C., los griegos reunieron y expandieron este conocimiento práctico, del cual se utilizaron las palabras griegas geo ("tierra") y metron ("medición") para medir la tierra. Generalizaron el tema abstracto conocido como geometría.

Geometría antigua: práctica y empírica

Los orígenes de la geometría se encuentran en los problemas de la vida cotidiana. Las historias tradicionales que se conservan en la historia de Herodoto (siglo V a.C.) afirman que los egipcios inventaron la agrimensura para restaurar el valor de la propiedad después de la inundación anual del río Nilo. Del mismo modo, la necesidad de evaluar los impuestos, almacenar el petróleo y el grano, y construir presas y pirámides dio lugar al deseo de conocer la cantidad de sólidos. Incluso tres antiguos problemas geométricos arcanos (doblar un cubo, dividir una esquina en tres partes iguales y cuadrar un círculo, todo ello descrito a continuación) son rituales religiosos y cronológicos en las sociedades pregriegas del Mediterráneo. …la construcción, etc., podría haber surgido de problemas reales. Y la teoría de las curvas cónicas, que más tarde se convirtió en un tema importante de la geometría griega, se debe a su importancia general y tal vez a sus orígenes en la aplicación de la óptica y la astronomía.

Muchas figuras antiguas contribuyeron al tema, pero ninguna tuvo una influencia comparable en Euclides y sus "elementos de geometría". Sin embargo, se sabe que Euclides ha hecho mucho menos que Moisés. De hecho, se sabe con certeza que Euclides enseñó en la Biblioteca de Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I (323-285/283 a.C.). Euclides no sólo escribió sobre geometría, sino también sobre astronomía y óptica, quizás mecánica y música. Sólo los "elementos" copiados y traducidos masivamente permanecen intactos.

Los "elementos" de Euclides están tan completos y claramente escritos que han borrado literalmente la obra de su predecesor. Lo que se conoce de la geometría griega antes de él proviene principalmente de fragmentos citados por Platón y Aristóteles, y más tarde por matemáticos y comentaristas. Entre los otros objetos valiosos que han conservado se encuentran algunos resultados y el enfoque general de Pitágoras (c. 580 a.C. a 500 a.C.) y sus seguidores. Esta doctrina da gran importancia a las matemáticas en el estudio y la comprensión del mundo. Platón adoptó un punto de vista similar, y los filósofos influenciados por Pitágoras y Platón a menudo escribieron extáticamente sobre la geometría como la clave para la interpretación del universo. De esta manera, la geometría antigua llegó a asociarse con lo sublime, complementando sus orígenes terrenales y su reputación como ejemplo de razonamiento preciso.

Encontrar el Ángulo Recto

Los antiguos arquitectos y topógrafos necesitaban poder hacer ángulos rectos en el sitio a pedido. Parece que recibieron el nombre griego de "tirador de cuerda" porque el método empleado por los egipcios utilizaba una cuerda para seguir los patrones de construcción. Una forma de hacer un triángulo rectángulo con la cuerda era hacer un nudo en la cuerda envuelta y marcarla de manera que cuando la cuerda se estira en el nudo, se convierte en un triángulo rectángulo. La forma más fácil de hacerlo es tomar una cuerda de 12 unidades y hacer un nudo de 3 unidades en un extremo y 5 unidades en el otro, como se muestra en el diagrama, y atar los extremos en un lazo. Animación. Pero los periodistas egipcios no dejaron instrucciones sobre estos procedimientos y sabían poco sobre cómo generalizarlos para obtener el teorema de Pitágoras. El cuadrado de una línea que apunta a un ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. De manera similar, las antiguas escrituras védicas indias contienen una sección llamada la Surbastra, o "regla de la cuerda", sobre la ubicación exacta del altar de sacrificio. Los ángulos rectos requeridos se hicieron con cuerdas marcadas para dar triángulos (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

En la cerámica babilónica (c. 1700-1500 A.C.), los historiadores modernos han descubierto un problema que muestra que el teorema de Pitágoras y algunos triángulos especiales se conocían más de 1000 años antes de Euclides. Sin embargo, muy raramente todos los lados de un triángulo rectángulo creado al azar se miden en las mismas unidades. El impacto del descubrimiento de este hecho por los pitagóricos dio lugar a un número infinito de conceptos y teorías.

Localizar lo inaccesible

Según la antigua tradición, Tales de Mileto vivió antes que Pitágoras en el siglo VI a.C. Inventó un método de medición de alturas inaccesibles, como las pirámides egipcias. No queda trabajo por hacer, pero Tales dice que para triángulos similares (triángulos de la misma forma pero no necesariamente del mismo tamaño), la longitud de cada lado que corresponde es el mismo múltiplo. Usted puede ser consciente de la observación babilónica de aumento (o disminución) Este diagrama utiliza un triángulo similar para determinar la altura de la pagoda. Como se muestra en el siguiente diagrama, los antiguos chinos utilizaban rectángulos "complementarios" de una altura a la que no se podía acceder por otra ruta. Esto demuestra que produce resultados comparables al método griego que involucra triángulos. Hemos llegado para medir la distancia.

Estimando la Riqueza

Esta litografía cuneiforme babilónica, escrita hace unos 3.500 años, describe temas como presas, pozos, relojes de agua y excavaciones. También existe la práctica de utilizar recintos circulares con un valor de π = 3. Los contratistas de piscinas del Rey Salomón crearon una piscina de 10 codos de ancho y 30 codos de diámetro (1 Reyes 7:23), pero usaron el mismo valor. Pero los hebreos deben haber tomado pi de los egipcios antes de cruzar el Mar Rojo.

El conocimiento del área del círculo era de valor práctico no solo para los constructores de altares y estanques, sino también para los funcionarios que rastreaban los tributos de los faraones. El escribano Armose, que copió y escribió una copia de un papiro rellenado (c. 1650 a.C.), tiene mucho que decir sobre el granero y la pirámide cilíndrica, entera y truncada. Podía calcular su propio volumen, y como podemos ver en el plano del jeque egipcio, la distancia horizontal asociada con la subida vertical del codo sabía algo sobre triángulos similares como una cantidad definida de la pendiente de la pirámide.

Geometría Antigua: Abstracta y Aplicada

Tres problemas clásicos
Los antiguos matemáticos construyeron algunos objetos geométricos y también mostraron teoremas matemáticos. Euclides restringió arbitrariamente las herramientas de construcción a una regla (una regla sin marcas) y una brújula. Esta limitación hizo que tres problemas de particular interés (doblar un cubo, dividir un ángulo arbitrario en tres partes iguales y cuadrar un círculo) fueran muy difíciles y prácticamente imposibles de resolver. Durante la era clásica, se idearon varios otros métodos de construcción, y los esfuerzos por utilizar reglas y brújulas, que siempre fracasaron, continuaron durante 2000 años. En 1837 el matemático francés Pierre-Laurent Wanzel demostró que es imposible doblar un cubo y dividir las esquinas en tres partes iguales, y en 1880 el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es un número trascendental, por lo que el cuadrado de un círculo es imposible.

Triseccionar el Ángulo

Los egipcios marcaron la hora de la noche con la aparición de 12 asteroides (constelaciones). Para obtener intervalos más convenientes, los egipcios subdividieron cada asterisco en tres partes o decanos. Esto presentaba un problema alternativo. No se sabe si el segundo problema más famoso de la geometría griega antigua, la trisección angular arbitraria, surgió de la dificultad de la deen, pero puede haber surgido del problema de la medición angular.

Algunas geometrías de la época de Platón probaron con la trigonometría. No pudieron encontrar una solución con una regla y una brújula, pero usaron un dispositivo mecánico y un truco para resolverlo. Este dispositivo mecánico crea lo que los antiguos geómetras llamaban un cuadrilátero. La cuadrícula, inventada por un geómetra conocido como Eris Hippia (que floreció en el siglo V a.C.), es una curva dibujada por la intersección de dos líneas en movimiento.

El secreto de la división en tres partes es una aplicación de lo que los griegos llamaban neusis. Se trata de una manipulación de longitudes medidas en posiciones especiales para completar una figura geométrica. Una versión posterior supuestamente utilizada por Arquímedes (c. 285-212/211 a.C.) ilustra cómo dividir un ángulo en tres partes iguales.

Doblar el cubo

En las escrituras védicas, el cubo era la forma más recomendada de altar para aquellos que querían suplicar dos veces en el mismo lugar. Según las reglas del ritual, el altar del segundo motivo tenía que ser de la misma forma, pero tener el doble de volumen que el primer motivo. Si los lados de los altares originales y derivados eran 1 y b, respectivamente, entonces b 3 = 2 a 3. El problema llegó a Grecia con el contenido del ritual. El Oráculo revela que los ciudadanos de Delos podrían ser liberados de la plaga simplemente reemplazando el altar existente por un doble altar. Los DeRusianos se aplicaron a Platón. El Oráculo respondió que no significaba que los dioses quisieran un altar más grande, sino que pretendían "avergonzar a los griegos por su desdén por las matemáticas y su desprecio por la geometría". Con esta combinación de la práctica védica, la mitología griega y la manipulación académica, el problema de la duplicación de los cubos ocupa un lugar importante en la formación de la geometría griega. Hipócrates de Hio, que escribió los primeros elementos alrededor del 450 a.C., dio los primeros pasos para resolver el problema del altar. La superposición de encontrar dos promedios proporcionales entre 1 y 2 resultó en la búsqueda de las líneas x e y en la proporción de 1:x = x:y = y:2. Después de la intervención de DerianOracle, la Academia Platónica descubrió un método complejo para generar algunas proporciones medias geométricas. Algunas generaciones más tarde, Eratóstenes de Cuern (276-194 a.C.) ideó una simple herramienta con partes móviles que podía generar proporciones medias aproximadas.

Cuadrando el Círculo

La geometría griega pre-Euclidiana convirtió el problema práctico de determinar el área de un círculo en una herramienta de descubrimiento. Se pueden distinguir tres enfoques. El intento de Hipócrates de reemplazar un problema por otro. La aplicación de instrumentos mecánicos como el aparato hipocrático, que divide un ángulo en tres partes iguales. Y es la tecnología más fructífera y probada, y se está acercando cada vez más a tamaños desconocidos (como el área de un círculo) que son difíciles de investigar. Se dice que fue dedicado a Eudoxus (408 a.C. a 355 a.C.), un discípulo de Platón. Arquímedes es ahora conocido como la "Ley de los gastos" y es su mayor practicante.

Aunque no pudo hacer los círculos cuadrados, Hipócrates mostró el cuadrado del lunes. Es decir, demostró que el área entre dos arcos que se intersectan podía ser representada con precisión como una región de líneas rectas. Esto levantó la expectativa de que los propios círculos pudieran ser tratados de la misma manera. Los contemporáneos hippie descubrieron que era posible casi alinear los círculos usando el método cuadrado. Estos fueron los enfoques mecánicos y de intercambio.

El método de agotamiento, desarrollado por Eudoxus, utiliza polígonos con bordes y áreas computables para aproximar curvas o superficies. Si el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta hasta el infinito, la circunferencia y el área del círculo, no importa cuán pequeña sea, estará dentro del rango de errores asignables en longitud o área. Será "agotado" o absorbido. En el método de agotamiento utilizado por Arquímedes, encontró un límite superior e inferior al valor de π, la relación de la circunferencia con el diámetro del círculo. Lo logró inscribiendo un polígono en un círculo, inscribiendo un polígono a su alrededor, y separando la circunferencia entre los bordes computables del polígono. Utiliza polígonos de 96 lados, forzando así a π entre el 310/71 y el 31/7.

Geometría Molecular

La estructura molecular, también llamada estructura molecular, se refiere a la estructura o disposición tridimensional de los átomos en una molécula. Comprender la estructura molecular de un compuesto nos permite determinar su polaridad, reactividad, fase de la materia, color, magnetismo y actividad biológica.

Topología

A veces llamada topología, una rama de las matemáticas, o "geometría de láminas de goma", dos objetos se mueven a través del espacio, doblándose, retorciéndose y estirándose, pero las partes no pueden ser desgarradas o pegadas en sucesión. Si pueden transformarse entre sí a través de, se consideran equivalentes. La principal preocupación de la topología son las propiedades que no cambian con esa transformación continua.

Video sobre los tipos de Geometría

https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=d0qr4uZ0ooI

Figuras Geométricas y sus Nombres

Una figura geométrica es un conjunto de puntos, líneas, cuerpos o planos. Estos elementos pueden ser colocados tanto en el plano como en el espacio para formar un número finito de líneas.

Una "forma" es una serie de puntos. Deben colocarse en uno o más planos y deben limitarse a un número específico de líneas terminadas al mismo tiempo.

Las principales formas geométricas son puntos y líneas. Aviones. Las líneas, las líneas discontinuas y los segmentos también distinguen formas simples.

Punto

Es una de las principales figuras de la geometría. Es muy pequeño, pero lo uso todo el tiempo para hacer todo tipo de formas en el plano. Los puntos son la forma primaria de absolutamente todas las estructuras, incluso las más complejas. En geometría, suelen estar representados por el alfabeto latino (por ejemplo, A, B, K, L).

Matemáticamente, un punto es un objeto espacial abstracto sin características como el área o el volumen, pero al mismo tiempo es un concepto fundamental de la geometría. Este objeto de dimensión cero simplemente no tiene una definición.

Derecho

Esta forma encaja cómodamente en un plano. Una línea recta no está definida matemáticamente porque está formada por un gran número de puntos dispuestos en un número infinito de líneas sin límites ni fronteras.

También hay segmentos. También son líneas rectas, pero tienen limitaciones geométricas porque tienen un punto de inicio y un punto final.

Además, es posible convertir una línea en un rayo direccional. Esto ocurre cuando una línea comienza en un punto y no tiene un final definido. La colocación de un punto en el centro de la línea divide el punto en dos haces (adicionales), que están separados entre sí.

Los segmentos múltiples que tienen un final continuo en un punto común y no están en línea recta se llaman líneas discontinuas.

Ángulo

La forma del nombre anterior se considera un elemento importante utilizado en la construcción de modelos más complejos.

El ángulo es una estructura que consiste en un vértice y dos rayos que salen de él. En otras palabras, los lados de esta figura están conectados en un solo punto.

Avión

Consideremos otra idea principal. Un plano es una forma que no tiene fin ni principio, como una línea o un punto. Al considerar este elemento geométrico, está limitado por los contornos de una polilínea cerrada, de la que sólo se considera una parte.

Todas las superficies lisas que se separan pueden considerarse planas. Podría ser una tabla de planchar, una hoja de papel o una puerta.

Cuadrángulos

Un paralelogramo es una figura geométrica cuyos lados emparejados son paralelos entre sí. Entre los tipos privados de este diseño podemos distinguir entre diamantes, rectángulos y cuadrados.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos lados están todos en ángulo recto entre sí.

Un cuadrado es un rectángulo con lados y esquinas iguales.

Un rombo es una forma en la que todos los lados son iguales. En este caso, los ángulos pueden ser bastante diferentes, pero pueden estar en pares. Cada cuadrado se cuenta como un rombo. Sin embargo, esta regla no siempre funciona al revés. No todos los diamantes son cuadrados.

Trapezoide

Las formas geométricas son completamente diferentes y caprichosas. Cada uno tiene su propia forma y propiedades.

El trapezoide tiene una forma algo similar a un cuadrilátero. Tiene dos lados paralelos en lados opuestos y se cree que es curvo.

Un Círculo

Esta figura geométrica es la posición en el plano de un punto equidistante del centro. En este caso, un determinado segmento no nulo se conoce comúnmente como el radio.

Triángulo

Es una simple figura geométrica muy bien vista y estudiada.

Un triángulo se considera una variante de un polígono dispuesto en un plano y rodeado por tres caras y tres puntos de contacto. Estos elementos están conectados en pares.

Polígono

Los vértices de un polígono son los puntos que conectan los segmentos. Y se cree que estos últimos se rompen a su vez.

Formas Geométricas Volumétricas

prisma

esfera

cono

cilindro

pirámide

Estos cuerpos tienen una cosa en común. Todos ellos están confinados a una superficie cerrada con muchos puntos.

Los estereotipos se estudian tanto en el campo de la cristalografía como en el de la geometría.