Geometría del espacio: elementos, cuerpos geométricos, áreas y volúmenes
La geometría del espacio (o geometría espacial) es la parte de la geometría que estudia las figuras de tres dimensiones —largo, ancho y alto—, llamadas cuerpos geométricos, junto con sus elementos, sus áreas y sus volúmenes.
Dicho de forma más sencilla: la geometría plana es la de lo que puedes dibujar en una hoja; la geometría del espacio es la de lo que puedes coger con la mano, como un dado, una lata de refresco o un balón.
En resumen
- Sus elementos básicos son el punto, la recta y el plano.
- Los cuerpos geométricos se dividen en poliedros (todas sus caras son planas) y cuerpos redondos (tienen alguna superficie curva).
- El área mide la superficie que envuelve el cuerpo (en \( \text{cm}^2 \)); el volumen mide el espacio que ocupa (en \( \text{cm}^3 \)).
- Prismas y cilindros: \( V = A_{\text{base}}\cdot h \). Pirámides y conos: \( V = \tfrac{1}{3}A_{\text{base}}\cdot h \).
Los cuerpos geométricos, sus áreas y sus volúmenes se estudian en 1.º y 2.º de ESO; las posiciones de rectas y planos, en 4.º de ESO, y su estudio con vectores, en 2.º de Bachillerato.
Índice de Contenido
Antes de empezar: tres ideas que necesitas
1. Las tres dimensiones
Piensa en una caja de zapatos: tiene largo, ancho y alto. Una hoja de papel casi no tiene grosor, así que solo usamos dos medidas (geometría plana). En cuanto aparece la tercera dimensión, entramos en la geometría del espacio.
2. Área no es lo mismo que volumen
Si quieres envolver la caja para regalo, necesitas saber cuánto papel hace falta: eso es el área. Si quieres llenarla de arena, necesitas saber cuánta arena cabe: eso es el volumen.
3. Las unidades
Las áreas se miden en unidades al cuadrado (\( \text{cm}^2 \), \( \text{m}^2 \)) y los volúmenes, en unidades al cubo (\( \text{cm}^3 \), \( \text{m}^3 \)). Para pasar a litros, recuerda que \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \), que \( 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ ml} \) y que \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \).
Los elementos de la geometría del espacio
Elementos básicos. El punto (no tiene dimensiones), la recta (una dimensión, infinita en los dos sentidos) y el plano (dos dimensiones, como una hoja de papel infinita).
En palabras sencillas: en el espacio, una recta queda fijada por un punto y una dirección, y un plano, por un punto y dos direcciones distintas (o por tres puntos que no estén en línea).
Mini ejemplo. En una habitación, una esquina es un punto, el borde entre la pared y el techo es una recta y el suelo es un plano.
Posiciones relativas
En el espacio aparece una posición que no existe en el plano: dos rectas pueden cruzarse, es decir, no cortarse sin ser paralelas (piensa en una carretera y un puente que pasa por encima).
| Elementos | Posiciones posibles |
|---|---|
| Dos rectas | Coincidentes, paralelas, secantes (se cortan en un punto) o se cruzan |
| Recta y plano | La recta está contenida en el plano, es paralela a él o lo corta en un punto |
| Dos planos | Coincidentes, paralelos o secantes (se cortan en una recta) |
Los cuerpos geométricos
Un cuerpo geométrico es una figura de tres dimensiones que ocupa un lugar en el espacio. Se clasifican en dos grandes grupos:
Poliedros y la fórmula de Euler
Un poliedro es un cuerpo limitado solo por polígonos. Sus elementos son las caras (los polígonos), las aristas (los lados donde se unen dos caras) y los vértices (los puntos donde se unen las aristas).
Fórmula de Euler. En todo poliedro convexo, el número de caras \( C \), de vértices \( V \) y de aristas \( A \) cumple:
\[ C + V = A + 2 \]
En palabras sencillas: si sumas caras y vértices, siempre te salen dos más que aristas. Sirve para comprobar si has contado bien.
Mini ejemplo. Un cubo tiene \( 6 \) caras, \( 8 \) vértices y \( 12 \) aristas: \( 6 + 8 = 12 + 2 \). Puedes ver la demostración en el artículo sobre la fórmula de Euler para poliedros convexos.
Los poliedros más importantes son:
- Prismas: tienen dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales que son paralelogramos. El cubo y el ortoedro (o cuboide, la forma de una caja de zapatos) son prismas.
- Pirámides: tienen una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en un vértice llamado cúspide.
- Poliedros regulares: todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice se juntan las mismas caras. Solo existen cinco:
| Poliedro regular | Caras | C | V | A |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | Triángulos | 4 | 4 | 6 |
| Cubo (hexaedro) | Cuadrados | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | Triángulos | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | Pentágonos | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | Triángulos | 20 | 12 | 30 |
Cuerpos redondos
Los cuerpos redondos tienen al menos una superficie curva. Los tres principales se obtienen haciendo girar una figura plana alrededor de un eje (por eso también se llaman cuerpos de revolución):
- Cilindro: al girar un rectángulo sobre uno de sus lados. Tiene dos bases circulares de radio \( r \) separadas una altura \( h \).
- Cono: al girar un triángulo rectángulo sobre un cateto. Tiene una base circular y un vértice. La distancia del vértice al borde de la base es la generatriz \( g \), y por el teorema de Pitágoras \( g^2 = r^2 + h^2 \).
- Esfera: al girar un semicírculo sobre su diámetro. Todos sus puntos están a la misma distancia \( r \) (el radio) del centro.
Desarrollos planos
El desarrollo plano de un cuerpo es la figura que obtienes al «desplegarlo» sobre la mesa, como cuando abres una caja de cartón. Es muy útil para calcular áreas: el área total es la suma de las áreas de todas las piezas del desarrollo.
Fórmulas de áreas y volúmenes
| Cuerpo | Área total | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo de arista \( a \) | \( 6a^2 \) | \( a^3 \) |
| Ortoedro de aristas \( a, b, c \) | \( 2(ab + ac + bc) \) | \( a\cdot b\cdot c \) |
| Prisma | \( 2A_{\text{base}} + P_{\text{base}}\cdot h \) | \( A_{\text{base}}\cdot h \) |
| Pirámide regular | \( A_{\text{base}} + \dfrac{P_{\text{base}}\cdot ap}{2} \) | \( \dfrac{A_{\text{base}}\cdot h}{3} \) |
| Cilindro | \( 2\pi r^2 + 2\pi r h \) | \( \pi r^2 h \) |
| Cono | \( \pi r^2 + \pi r g \) | \( \dfrac{\pi r^2 h}{3} \) |
| Esfera | \( 4\pi r^2 \) | \( \dfrac{4}{3}\pi r^3 \) |
Aquí \( A_{\text{base}} \) es el área de la base, \( P_{\text{base}} \) su perímetro, \( h \) la altura, \( ap \) la apotema de la pirámide (la altura de cada cara lateral) y \( g \) la generatriz del cono.
¿Por qué funcionan estas fórmulas?
Prismas y cilindros. Imagina una pila de folios o de monedas: el volumen total es lo que ocupa una hoja (el área de la base) multiplicado por la altura de la pila. Por eso \( V = A_{\text{base}}\cdot h \), tanto si la base es un polígono como si es un círculo.
Pirámides y conos. Un cubo se puede dividir en tres pirámides iguales que tienen como base una cara del cubo y como cúspide el mismo vértice. Cada una ocupa un tercio del cubo, y de ahí sale el \( \tfrac{1}{3} \) de \( V = \tfrac{1}{3}A_{\text{base}}\cdot h \). Lo mismo ocurre entre un cono y el cilindro de igual base y altura.
Esfera. Arquímedes demostró que una esfera ocupa exactamente \( \tfrac{2}{3} \) del cilindro que la envuelve. Ese cilindro tiene radio \( r \) y altura \( 2r \), así que su volumen es \( \pi r^2\cdot 2r = 2\pi r^3 \), y los dos tercios dan \( \tfrac{4}{3}\pi r^3 \).
Cómo se aplica paso a paso
- Identifica el cuerpo y dibújalo, señalando los datos: aristas, radio, altura…
- Pon todos los datos en la misma unidad. No mezcles centímetros con metros.
- Elige la fórmula de la tabla. Ten a mano este truco:
Si el cuerpo… Su volumen es… tiene dos bases iguales (prisma, cilindro) base × altura acaba en punta (pirámide, cono) base × altura ÷ 3 es una esfera \( \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) Truco: si acaba en punta, divide entre 3.
- Calcula y pon las unidades: \( \text{cm}^2 \) para áreas y \( \text{cm}^3 \) para volúmenes. Puedes dejar el resultado en función de \( \pi \) o usar \( \pi \approx 3{,}1416 \).
- Comprueba que el resultado tiene sentido: una lata de refresco no puede tener un volumen de \( 5 \text{ m}^3 \).
Explicación en vídeo
Si prefieres verlo explicado en la pizarra, en este directo Susi Profe explica cómo calcular las áreas y los volúmenes de los cuerpos geométricos, con ejercicios (26 minutos):
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 (básico): el cubo
Calcula el área y el volumen de un cubo de \( 4 \text{ cm} \) de arista.
Paso 1. Área: el cubo tiene \( 6 \) caras cuadradas de \( 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \), así que \( A = 6\cdot 16 = 96 \text{ cm}^2 \).
Paso 2. Volumen: \( V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3 \).
Ejemplo 2 (básico): el ortoedro
Calcula el área y el volumen de un ortoedro de \( 5 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \).
Paso 1. Tiene tres parejas de caras iguales: \( 5\cdot 3 = 15 \), \( 5\cdot 2 = 10 \) y \( 3\cdot 2 = 6 \). Área: \( A = 2(15 + 10 + 6) = 62 \text{ cm}^2 \).
Paso 2. Volumen: \( V = 5\cdot 3\cdot 2 = 30 \text{ cm}^3 \).
Ejemplo 3 (intermedio): una lata cilíndrica
Una lata tiene forma de cilindro de \( 3 \text{ cm} \) de radio y \( 10 \text{ cm} \) de altura. ¿Cuánta chapa hace falta para fabricarla y cuánto líquido cabe?
Paso 1. Área (la chapa): \( A = 2\pi\cdot 3^2 + 2\pi\cdot 3\cdot 10 = 18\pi + 60\pi = 78\pi \approx 245{,}04 \text{ cm}^2 \).
Paso 2. Volumen (el líquido): \( V = \pi\cdot 3^2\cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}74 \text{ cm}^3 \).
Paso 3. Como \( 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ ml} \), caben unos \( 283 \text{ ml} \): algo menos que una lata de refresco normal.
Ejemplo 4 (nivel examen): el cono
Calcula el área total y el volumen de un cono de \( 6 \text{ cm} \) de radio y \( 8 \text{ cm} \) de altura.
Paso 1. Generatriz, por Pitágoras: \( g = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \).
Paso 2. Área: \( A = \pi\cdot 6^2 + \pi\cdot 6\cdot 10 = 36\pi + 60\pi = 96\pi \approx 301{,}59 \text{ cm}^2 \).
Paso 3. Volumen: \( V = \tfrac{\pi\cdot 6^2\cdot 8}{3} = 96\pi \approx 301{,}59 \text{ cm}^3 \).
Curiosidad: sale el mismo número, pero no es lo mismo: uno son \( \text{cm}^2 \) y el otro \( \text{cm}^3 \). Con otras medidas no coincidirían.
Ejemplo 5 (nivel examen): la pirámide cuadrangular
Una pirámide regular de base cuadrada tiene \( 6 \text{ cm} \) de lado de la base y \( 4 \text{ cm} \) de altura. Calcula su área total y su volumen.
Paso 1. La apotema \( ap \) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura (\( 4 \)) y la mitad del lado (\( 3 \)): \( ap = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} \).
Paso 2. Área lateral: \( 4 \) triángulos de base \( 6 \) y altura \( 5 \): \( 4\cdot \tfrac{6\cdot 5}{2} = 60 \text{ cm}^2 \). Con la base (\( 6^2 = 36 \)), el área total es \( 96 \text{ cm}^2 \).
Paso 3. Volumen: \( V = \tfrac{36\cdot 4}{3} = 48 \text{ cm}^3 \).
Para qué sirve: ¿cuántos litros caben?
Una de las aplicaciones más útiles es calcular la capacidad de depósitos, piscinas o envases.
- Calcula el volumen con la fórmula del cuerpo. Un depósito cilíndrico de \( 0{,}5 \text{ m} \) de radio y \( 1{,}2 \text{ m} \) de altura tiene \( V = \pi\cdot 0{,}5^2\cdot 1{,}2 = 0{,}3\pi \approx 0{,}94 \text{ m}^3 \).
- Pasa a litros: como \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \), caben unos \( 942 \text{ L} \).
Un poco de historia
Los cinco poliedros regulares se llaman también sólidos platónicos, porque el filósofo griego Platón los relacionó con los elementos de la naturaleza. Euclides, en el último libro de sus Elementos, demostró que no puede haber más de cinco.
Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) demostró en su obra Sobre la esfera y el cilindro que la esfera ocupa dos tercios del cilindro que la envuelve, tanto en volumen como en superficie. Estaba tan orgulloso de este resultado que pidió que lo grabaran en su tumba. Según contó Cicerón, que la encontró en Sicilia en el 75 a. C., la tumba estaba cubierta de matorrales y tenía una pequeña columna con una esfera y un cilindro.
Errores comunes
- Confundir área y volumen. El área va en \( \text{cm}^2 \) y el volumen en \( \text{cm}^3 \). Si te piden cuánto cabe, es volumen; si te piden cuánto material hace falta, es área.
- Olvidar el \( \tfrac{1}{3} \) en pirámides y conos. Recuerda: si acaba en punta, divide entre 3.
- Usar el diámetro en lugar del radio. Si una lata mide \( 6 \text{ cm} \) de diámetro, su radio es \( 3 \text{ cm} \).
- Confundir la altura con la generatriz del cono (o con la apotema de la pirámide). La altura es vertical; la generatriz va inclinada, del vértice al borde. Se relacionan por Pitágoras.
- Olvidar las bases al calcular el área. El cilindro tiene dos círculos además del rectángulo lateral.
- Mezclar unidades. Pasa todo a la misma unidad antes de operar, y recuerda que \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \), no \( 100 \).
Resumen en una tabla
| Tipo de cuerpo | Ejemplos | Volumen |
|---|---|---|
| Con dos bases iguales | Cubo, ortoedro, prisma, cilindro | \( A_{\text{base}}\cdot h \) |
| Acabado en punta | Pirámide, cono | \( \tfrac{1}{3}A_{\text{base}}\cdot h \) |
| Esfera | Balón, canica | \( \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) |
Ejercicios para practicar
Nivel 1: volúmenes sencillos y Euler
- Calcula el volumen de un cubo de \( 5 \text{ cm} \) de arista.
Ver solución paso a paso
\( V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3 \).
- Calcula el volumen de un ortoedro de \( 8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \).
Ver solución paso a paso
\( V = 8\cdot 4\cdot 3 = 96 \text{ cm}^3 \).
- Cuenta las caras, los vértices y las aristas de un prisma pentagonal y comprueba la fórmula de Euler.
Ver solución paso a paso
Caras: \( 2 \) bases \( + \, 5 \) laterales \( = 7 \). Vértices: \( 5 \) arriba \( + \, 5 \) abajo \( = 10 \). Aristas: \( 5 + 5 + 5 = 15 \).
Euler: \( 7 + 10 = 17 = 15 + 2 \). Se cumple.
Nivel 2: cuerpos redondos
- Calcula el volumen de un cilindro de \( 2 \text{ cm} \) de radio y \( 5 \text{ cm} \) de altura.
Ver solución paso a paso
\( V = \pi\cdot 2^2\cdot 5 = 20\pi \approx 62{,}83 \text{ cm}^3 \).
- Calcula el área y el volumen de una esfera de \( 6 \text{ cm} \) de radio.
Ver solución paso a paso
\( A = 4\pi\cdot 6^2 = 144\pi \approx 452{,}39 \text{ cm}^2 \).
\( V = \tfrac{4}{3}\pi\cdot 6^3 = 288\pi \approx 904{,}78 \text{ cm}^3 \).
- Un cono tiene \( 5 \text{ cm} \) de radio y \( 12 \text{ cm} \) de altura. Calcula su generatriz y su área lateral.
Ver solución paso a paso
\( g = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
Área lateral: \( \pi r g = \pi\cdot 5\cdot 13 = 65\pi \approx 204{,}20 \text{ cm}^2 \).
Nivel 3: problemas
- Una pirámide regular de base cuadrada tiene \( 10 \text{ cm} \) de lado de la base y \( 12 \text{ cm} \) de altura. Calcula su área total y su volumen.
Ver solución paso a paso
Apotema: \( ap = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
Área total: \( 10^2 + 4\cdot \tfrac{10\cdot 13}{2} = 100 + 260 = 360 \text{ cm}^2 \).
Volumen: \( \tfrac{100\cdot 12}{3} = 400 \text{ cm}^3 \).
- Una piscina tiene forma de ortoedro de \( 10 \text{ m} \) de largo, \( 5 \text{ m} \) de ancho y \( 1{,}8 \text{ m} \) de profundidad. ¿Cuántos litros de agua caben?
Ver solución paso a paso
\( V = 10\cdot 5\cdot 1{,}8 = 90 \text{ m}^3 \). Como \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \), caben \( 90\,000 \text{ L} \).
Preguntas frecuentes
¿Qué es la geometría del espacio?
Es la rama de la geometría que estudia las figuras de tres dimensiones (cuerpos geométricos como el cubo, la pirámide, el cilindro o la esfera), sus elementos y sus medidas: áreas y volúmenes. También estudia cómo se colocan los puntos, las rectas y los planos en el espacio.
¿Qué diferencia hay entre geometría plana y geometría del espacio?
La geometría plana trabaja con figuras de dos dimensiones, como triángulos o círculos, que caben en una hoja. La geometría del espacio añade la tercera dimensión, la altura o profundidad, y trabaja con cuerpos que tienen volumen.
¿Cuáles son las figuras geométricas del espacio?
Se dividen en poliedros, con todas sus caras planas (prismas, pirámides y los cinco poliedros regulares), y cuerpos redondos, con alguna superficie curva (cilindro, cono y esfera).
¿El cubo es un prisma?
Sí. El cubo es un prisma cuyas dos bases son cuadrados y cuyas caras laterales también son cuadrados iguales. Además, es uno de los cinco poliedros regulares, y por eso también se llama hexaedro regular.
¿Qué es un cuboide?
Es otro nombre del ortoedro o paralelepípedo rectangular: un prisma con seis caras rectangulares, como una caja de zapatos. Su volumen es largo × ancho × alto.
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