Precios de derivados de primera parte (procesos estocásticos)
Hay fenómenos que podemos predecir con gran precisión y fenómenos que tienen un componente aleatorio que no nos permite hacer predicciones deterministas.
Por ejemplo, conociendo las posiciones y velocidades actuales de los planetas podremos calcular con gran precisión sus posiciones y velocidades dentro de 100 años. En cambio, incluso conociendo el precio del petróleo de hoy, tampoco podemos predecir el precio de mañana.
¿Cómo describimos estos fenómenos que tienen una evolución no determinista?
El formalismo matemático utilizado en estos casos es el de procesos estocásticos . Definirlos de forma rigurosa no es fácil, intentaré dar una idea intuitiva.
Un proceso estocástico
S
está determinada por una ecuación diferencial estocástica del tipo:
dS(t)=a(S,t)dt+b(S,t)dW.
donde los distintos términos tienen esta interpretación:
dS(t)⏟variación de S=a(S,t)dt⏟componente determinista+b(S,t)dW.⏟componente aleatorio
las variaciones de
S
a tiempo (
dS
) dependen de dos funciones
a
Y
b
. La función
a
se llama deriva o deriva y representa la parte determinista de la evolución de
S
, la función
b
se llama difusión y regula la parte aleatoria de la evolución de
S
.
Un ejemplo de sistema físico descrito por un proceso de este tipo podría ser el siguiente: una masa conectada a un resorte que sufre una perturbación aleatoria provocada por colisiones con otras partículas .
En esta analogía el término de deriva
a
describe cómo actúa la fuerza elástica mientras que el término de difusión
b
representa la contribución de las colisiones con partículas.
Los dos componentes pueden tener diferente peso, en algunos casos el componente determinista puede prevalecer y el movimiento será prácticamente el mismo que el esperado en ausencia de un componente aleatorio, o las perturbaciones caóticas pueden ser tan grandes como para enmascarar completamente el efecto de la fuerza.
Los siguientes tres gráficos representan simulaciones de este sistema. En el primero el peso del componente aleatorio es muy bajo mientras que en los siguientes se ha incrementado.
Observación importante : cada gráfico muestra diferentes realizaciones posibles de un mismo proceso estocástico. Una vez fijada una determinada ecuación diferencial estocástica, no se determina la evolución sino la probabilidad de obtener unos caminos frente a otros y un determinado camino representa una extracción aleatoria del conjunto de caminos posibles .
Pero, ¿cómo se crean estas simulaciones? Usamos la versión de intervalo discreto de la ecuación diferencial estocástica:
ΔS(t)=S(t+Δt)–S(t)=a(S,t)Δt+b(S,t)ΔtNo(0,1)
Dónde
N(0,1)
representa un sorteo aleatorio de una distribución normal estándar (media cero, varianza 1).
Para generar un paseo aleatorio con
n
Los pasos de la simulación proceden de la siguiente manera:
- Se establece el punto de partida del proceso.
S0 - En el momento t0=0
- se establece un valor para
Δtque representa el paso de simulación y que determina los tiempos t1=Δt,t2=2Δt,…,tnorte=norteΔt - ellos son creados
norteextracciones de la distribución normal estándar Y1,…Ynorte - empezando desde
S0se construye un camino S1,…,Snorterecursivamente como Sel+1=Sel+a(Sel,tel)Δt+b(Sel,tel)ΔtYel
Cada vez que se repite este patrón se obtienen extracciones diferentes
Y1,…,Ynorte
y en consecuencia un camino diferente
S1,…,Snorte
.
Veamos ahora algunos ejemplos prácticos.
En lo que respecta al mundo de las acciones y los índices financieros, el proceso estocástico más simple que se puede utilizar se llama movimiento browniano geométrico y se define mediante una ecuación del tipo:
dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW.
Dónde
µ
Y
σ
son constantes.
A partir de un valor
S0
En el momento
t=0
, se puede demostrar que el proceso en el tiempo
t
tendrá un valor medio igual a
S0Yµt
. Por tanto, el movimiento browniano geométrico describe una cantidad que tiende a crecer exponencialmente con la adición de una perturbación regulada por el valor de
σ
llamado volatilidad .
A continuación se muestran las simulaciones de un movimiento browniano geométrico con
S0=100
,
µ=0.1
Y
σ=0.1
.
Este tipo de proceso, sin embargo, no es adecuado para simular tipos de interés porque los tipos suelen tener valores que siempre se mantienen dentro de determinados intervalos (digamos que rara vez bajan de cero o superan el 10%).
Existen muchos modelos que se pueden utilizar para simular tasas, uno de los más simples, pero fácil de interpretar, es el modelo de Vasicek en el que se mide la evolución de una tasa de interés.
r
sigue la ecuación diferencial estocástica:
dr=a(b−r(t))dt+σdW.
El término determinista tiende a mantener el proceso en torno al valor.
b
. De hecho cuando
r
es mayor que
b
el término es negativo y tiende a disminuir
r
, mientras que cuando
r
es menos que
b
el término es positivo y tiende a aumentar
r
.
A continuación se muestran las simulaciones de un modelo de Vasicek con
r0=0,01
,
a=0,03
,
b=0,02
Y
σ=0,05
.
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