El cuadrilátero de Saccheri

Lo que parece obvio no siempre lo es: el cuadrilátero de Saccheri.

Pongamonos en situación, estamos en 1733. Estamos en plena disputa con respecto al postulado de las paralelas. Para aquellos que aún no lo han digerido abundantemente, recordemos por un momento. Por el término cuestión de las paralelas nos referimos a un gran debate que duró esencialmente ocho siglos en el que dos grandes facciones de matemáticos lucharon para poder probar o refutar la evidencia del quinto postulado de Euclides.

Cuando Euclides publicó su obra magna, Los elementos , se dispuso a establecer hechos verdaderos independientemente , porque eran evidentes. Estos fueron (y siguen siendo) cinco:

El postulado número 5 fue inmediatamente menos claro y obvio que los anteriores. Muchos matemáticos se convencieron de que este era un resultado demostrable de los anteriores. Más simplemente, según esta facción debió existir algún camino (más o menos tortuoso) que permitiera obtener el postulado número 5 como combinación de los cuatro primeros, como consecuencia.

Durante cientos de años nadie pudo realmente probar tal hipótesis. Por otro lado, quedaron muchas dudas que llevaron a un verdadero debate sobre la época y para toda Europa.

El punto de inflexión de Saccheri.

Gerolamo Giovanni Saccheri nació en Sanremo en 1667. A los dieciocho años se dedicó al estudio de la teología y las matemáticas, especialmente la geometría. Obtuvo una cátedra universitaria y un puesto de prestigio entre los matemáticos de la época. Además de haberse ocupado de la lógica, con la publicación de la obra Logica demostrativa en 1697, inevitablemente le asaltó la cuestión de los paralelos que estaba en pleno apogeo.

La perspectiva de Saccheri era muy clara: Euclides no podía ser superado. La geometría de Euclides podría ser la única lógicamente posible, la única realmente relevante. De este principio se sigue necesariamente que Saccheri fue un ferviente partidario del hecho de que el quinto postulado era una consecuencia de los primeros cuatro. De no haber sido así, de hecho, la elección de añadir o no este principio a las reglas de la geometría habría dado lugar a nuevas perspectivas, nuevos entornos y nuevas geometrías posibles. Esto, como ya hemos señalado, habría sido un enorme abuso de la magnificencia de Euclides, el único hito de las matemáticas.

Guiado por esta convicción, Saccheri dedicó todas sus fuerzas a redactar la obra más importante de su carrera: Euclides ab omni nævo vindicatus , (Euclides vengado de cada mancha) publicada en la versión final en 1733. . Desafortunadamente para él, su publicación tuvo un efecto inverso inesperado y no deseado.

Cuadrilátero de Saccheri.

Saccheri partió de una figura geométrica simple: un cuadrilátero. La idea era probar que la única forma posible de completar la figura pasaba directamente por el postulado de las paralelas, verificándolo como consecuencia de los precedentes. Sin embargo, para que conste, debemos recordar que tal figura ya fue propuesta previamente por un matemático árabe, aunque con diferentes intenciones y resultados.

Consideremos, pues, un segmento AB que definiremos por simplicidad como base. De los extremos A y B partimos de dos segmentos congruentes (AD y CB) que forman ángulos rectos con AB del mismo lado. La figura ciertamente da una mejor idea:

Esencialmente, la construcción es simple. La intención de Saccheri era aún más obvia, en realidad. Quería comprobar que uniendo los puntos C y D se obtiene un nuevo segmento CD que forma ángulos rectos con CB y AD.

Es importante tener mucho cuidado. Es evidente que en nuestra concepción de la geometría los ángulos

son necesariamente justos. Esto se debe a que el tipo de geometría que estamos acostumbrados a tratar es precisamente la de Euclides. La intención de Saccheri es verificar matemáticamente que la amplitud de los ángulos en cuestión es inevitablemente de 90°, reivindicando finalmente la infalibilidad de la geometría euclidiana.

Una primera consideración es ciertamente que los puntos C y D son distintos entre sí. Un segundo que las esquinas

son congruentes. Hay tres posibilidades diferentes:

Ambos ángulos son agudos,
Los ángulos son ambos obtusos,
Los ángulos son ambos ángulos rectos.

Queda por verificar que 1. y 2. conducen a contradicciones matemáticas.

La ambición de Saccheri le llevó a la demostración que buscaba, tropezando sin embargo con dos errores esenciales de los que sólo mencionaremos. La hipótesis de los ángulos obtusos, que según Saccheri se destruye a sí misma, se demuestra imposible gracias al uso del segundo postulado. Sin embargo, más adelante se demostrará que la hipótesis de los ángulos obtusos es incompatible con esta última que, por tanto, no puede utilizarse.

En el caso, sin embargo, de la hipótesis de los ángulos agudos llega a una contradicción falsa, una contradicción que existe sólo en el caso de la geometría euclidiana, pero no en las otras posibles.

Consecuencias no deseadas.

La falacia de los argumentos de Saccheri llevó a más y más matemáticos a suponer que tal vez sea la intención la que esté equivocada. Incluso ilustres matemáticos de la talla de Gauss empezaron a suponer que era posible crear modelos de geometrías distintas a las de Euclides, en las que el cuadrilátero descrito por Saccheri tenía propiedades muy diferentes a las que nos hacen pensar. El propio Gauss probó suerte con la prueba por contradicción propuesta por Saccheri, sin encontrar contradicción y preguntándose " ¿por qué no ?".

Desgraciadamente, el debate en torno a la cuestión de los paralelos estaba aún especialmente acalorado en la comunidad matemática de la época y exponerse en exceso a una u otra suposición podría haber acarreado posteriormente la pérdida de credibilidad científica. Fue por eso que Gauss nunca mencionó estos trabajos suyos, nunca se refirió a la obra de Saccheri (guardada en su propia Universidad de Göttingen) y propuso una publicación póstuma de sus intenciones a algunos de sus colegas.

Fue el joven Jànos Bolyai (1802 - 1869), húngaro, quien se animó a exponer públicamente sus tesis a favor de las nuevas geometrías. Tesis que encontraron el apoyo póstumo de Gauss y que, sobre la base del trabajo (aunque incorrecto) de Saccheri, permitieron desarrollar la gran Teoría de las Geometrías no Euclidianas.

En la práctica, el pobre Saccheri no nos ha dejado un gran legado en el campo de las geometrías no euclidianas. Sin embargo, nos permitió comprender, quizás precisamente por los errores cometidos involuntariamente, que una nueva forma de matemáticas podría ser posible. En la actualidad, geometrías como la esférica y la hiperbólica son particularmente utilizadas en la vida cotidiana. Basta recordar que nosotros mismos vivimos en una esfera inmensa, en la que (si se quiere ser minucioso o se tiene que tratar con grandes distancias) es necesario conocer en profundidad la naturaleza de las cosas. En este caso, nuestra naturaleza nos ofrece un espectáculo a veces muy diferente a la planitud de los espacios de Euclides.