Monomios

Los monomios son expresiones matemáticas que consisten en el producto de una parte numérica y una parte literal. La parte numérica del monomio es cualquier número, mientras que la parte literal está formada por el producto de potencias de base literal y exponente entero positivo o nulo.

En esta lección introductoria hablamos de monomios . Los monomios se encuentran entre las primeras expresiones matemáticas que se estudian en las escuelas secundarias y podemos considerarlos como los bloques de construcción de las matemáticas en los que se basa gran parte del álgebra, porque se utilizan para construir objetos un poco más elaborados: los polinomios .

A continuación, configuraremos la explicación ofreciéndole todas las definiciones que necesita aprender de inmediato. En particular, las definiciones de monomio en forma normal , de grado de un monomio , de monomios semejantes , de monomios iguales y de monomios opuestos .

En las siguientes lecciones veremos cómo comportarse en la práctica y cómo realizar las distintas operaciones con los monomios, mientras que al final de la lección podrás acceder directamente a la hoja de ejercicios realizados. 😉

Índice de Contenido

Definición de monomio

Un monomio es una expresión matemática que consiste en un producto de cualquier factor, ya sea numérico o literal. Los términos literales se expresan en forma de potencias que tienen como exponente un número natural .

¿Un ejemplo?

4x^2

El factor numérico se denomina coeficiente o parte numérica del monomio , mientras que el factor literal constituye la denominada parte literal del monomio .

La definición de monomio tiene tres ingredientes diferentes:

1) la parte numérica puede estar formada por cualquier número (aquí y en todas las lecciones posteriores consideraremos los coeficientes en el conjunto de los números reales );

2) la parte numérica debe multiplicarse por la parte literal;

3) en la parte literal solo puede haber multiplicaciones .

No es casualidad que el término monomio derive de la fusión de las palabras griegas monos = unica y nomé = ley, para subrayar que la única "ley" que aparece en ellas es la multiplicación.

Atención, que no os engañen: las potencias que tienen como exponente un número natural no son más que multiplicaciones en las que los factores coinciden con la base, por lo que encajan perfectamente en la regla 3) de la definición.

Ejemplos de monomios

La definición es bastante simple y no debería asustarnos, pero para despejar cualquier posible duda, vale la pena ver de inmediato un resumen de ejemplos sobre monomios :

3 x ^ 2 yz ^ 3

es un monomio en el que es el coeficiente numérico (número natural) mientras que es la parte literal.

- abc

es un monomio que tiene como coeficiente numérico ( número relativo ) y como parte literal .

$\ fracción {1} {7} x ^ 2 z$

es un monomio. El coeficiente numérico es $\ fracción {1} {7}$ ( número racional ) mientras que la parte literal es .

$\ raíz cuadrada {3} x$

es un monomio con parte numérica $\ raíz cuadrada {3}$ ( número irracional ) y con parte literal .

$\ fracción {4} {7}$

sigue siendo un monomio! Incluso si la parte literal no parece estar ahí, en realidad es cualquier letra con exponente cero , que por lo tanto es igual a 1. El coeficiente es $\ fracción {4} {7}$ .

no es un monomio , porque la expresión no se puede expresar como el producto de una parte numérica y una parte literal.

$- abc ^ {- 2}$

no es un monomio , porque el exponente de la letraes negativo.

$5 \ fracción {xy} {z}$

no es un monomio , porque al explotar la definición de potencia con exponente negativo podemos reescribirlo $5xyz ^ {- 1}$ en la forma, a partir de la cual vemos que el exponente dees negativo y, por lo tanto, no es un número natural.

$4 \ raíz cuadrada {x} yz$

no es un monomio , porque de la definición de potencia con exponente dividido podemos escribirlo como $4x ^ {\ fracción {1} {2}} yz$ , y el exponente deno es un número natural.

Atención a casos especiales:

- de los ejemplos anteriores hemos descubierto que, según la definición, los números únicos y simples son un caso particular de los monomios;

- en el contexto de los monomios el número 0 corresponde al monomio nulo .

Mononomi reducido en forma normal

Se dice que un monomio se reduce en forma normal si se expresa como el producto de un solo factor numérico y de potencias literales con diferentes bases.

P.ej

$\ mbox {no en forma normal}: \ \ 3 \ cdot \ frac {1} {4} xyz$

no se reduce en forma normal, porque la parte numérica no está constituida por un solo factor numérico: es de hecho el producto entre y $\ fracción {1} {4}$ .

Para reducir el monomio a la forma normal debemos multiplicar apropiadamente y expresar la parte numérica como un solo factor, para obtener

$\ mbox {en forma normal}: \ \ \ frac {3} {4} xyz$

Otro ejemplo de monomio que no está en forma normal está dado por

$\ mbox {no en forma normal}: \ \ \ frac {3} {4} xyzx$

porque en este caso las potencias de la parte literal no tienen bases diferentes. La forma normal viene dada por

De los ejemplos entendemos que no todos los monomios se expresan en forma normal, pero todos los monomios se pueden reescribir en forma normal expresando apropiadamente las multiplicaciones involucradas.

Grado total de un monomio y grado de un monomio con respecto a una letra

Una vez que se entiende lo que se escribe un monomio en forma normal, interviene el concepto de grado de un monomio en sentido general y de grados de un monomio con respecto a las diversas letras . En ambos casos las definiciones se refieren únicamente a monomios reducidos en forma normal.

Grado del monomio con respecto a una letra : es el exponente de la letra en el monomio.

Grado global del monomio : es la suma de los exponentes de todas las letras que aparecen en el monomio.

No es nada difícil determinar los grados de un monomio pero desafortunadamente, por alguna extraña razón, los estudiantes a veces tienen dificultades al respecto. 😉 Veamos un ejemplo sencillo.

$-\frac{4}{5}x^3yz^2$

es un monomio reducido a formal, de hecho la parte numérica se compone de un solo factor y y la parte literal se compone de potencias con diferentes bases.

Identificamos los grados del monomio con respecto a cada letra y el total:

• 3 es el grado del monomio con respecto a la letra ;

• 1 es el grado del monomio con respecto a la letra ;

• 2 es el grado del monomio con respecto a la letra ;

• 3 + 1 + 2 = 6 es el grado total del monomio.

Además en este caso las definiciones no son complicadas, solo hay que prestar atención a casos particulares:

- los números únicos y simples (que son monomios) distintos de 0 tienen grado 0;

- al monomio nulo, es decir 0, no se le atribuye ningún grado por convención. En algunos textos, principalmente universitarios, el grado del monomio nulo es igual a $- \ infinito$ , nuevamente por convención.

Para consultar otros ejemplos puedes leer el estudio en profundidad sobre el grado de un monomio . Ahora pasemos a introducir algunos conceptos fundamentales que vuelven cíclicamente en la vida de todo estudiante. 😉

Monónimos similares

Llamamos monomios semejantes a dos monomios cualesquiera, reducidos a su forma normal, que tienen la misma parte literal.

P.ej

$\ mbox {monomios similares}: \ \ xy ^ 2 z \ \; \ \ \ frac {3} {2} xy ^ 2 z$

son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal, al igual que son monomios semejantes

$\ mbox {monomios similares}: \ \ ab ^ 2 \ \; \ \ -3a b ^ 2$

¿Un ejemplo de monomios no similares?

$\ mbox {monomios no similares}: \ \ ab \ \; \ \ ab ^ 2$

De los ejemplos podemos adivinar un aspecto que podría pasar desapercibido en la definición: para que dos monomios reducidos en forma normal sean semejantes, la parte numérica es irrelevante. Solo importa que las partes literales sean las mismas.

Monónimos iguales

Definimos monomios iguales dos monomios cualesquiera, reducidos a la forma normal, que tienen el mismo coeficiente y la misma parte literal, como por ejemplo

$\ mbox {monomios iguales}: \ \ 4 x ^ 2 yz \ \; \ \ 4 x ^ 2 yz$

Cabe señalar que el concepto de monomios iguales es mucho más estricto que el de monomios semejantes: en el segundo caso basta la igualdad entre las partes literales; en el primer caso las partes numéricas y las partes literales deben ser iguales respectivamente.

Monónimos opuestos

Decimos que dos monomios en forma normal son monomios opuestos si son similares y si tienen coeficientes numéricos opuestos (es decir, con signos opuestos).

Como ejemplo de monomios opuestos podemos considerar:

$\ mbox {monomios opuestos}: \ \ 3a bc ^ 2 \ \; \ \ -3a bc ^ 2$

Observación sobre el monomio nulo

En los monomios la parte numérica y la parte literal son distintas y no se afectan entre sí. Desde este punto de vista, el único caso particular lo da el monomio nulo: todo monomio que tenga como parte numérica el 0 se reduce, de hecho, al monomio nulo.

P.ej:

$0x = 0 \\ \\ 0ab ^ 2c = 0 \\ \\ 0 acx ^ 3y ^ 5 = 0$

Aprendemos bien estos nuevos conceptos porque nos permiten definir las operaciones con monomios , de las que hablaremos en la próxima lección.

Aquí hemos terminado, pero te espera una ficha de ejercicios realizados con monomios, así como otros muchos ejercicios que hemos resuelto y explicado y que puedes encontrar con la barra de búsqueda interna. 😉

Los más impacientes que están aquí para un repaso rápido también pueden ponerse a prueba enseguida con expresiones con monomios .