Trigonometría en el espacio: las coordenadas esféricas

Las coordenadas polares. Se trata de coordenadas diferentes a las habituales, utilizadas con multitud de finalidades y en muchos campos, tanto teóricos como prácticos, para describir los puntos del plano. Por lo tanto, en lugar de dar las coordenadas (x,y) de la referencia cartesiana, para encontrar y determinar la posición de un punto debemos especificar (R,
), donde R es el llamado radio, que representa la distancia del punto desde el origen, e
es el ángulo formado por la recta que pasa por el origen y el punto y el hipotético eje x.

También te mostré que había una relación precisa entre las coordenadas:
y
.

coordenadas polares

La pregunta que nos hacemos hoy es: ¿qué pasa en 3 dimensiones? ¿Existe un análogo de las coordenadas polares?

¡La respuesta es sí!

Un punto en la Tierra
¿Recuerdas cuando te hablé de latitud y longitud? Bueno, el concepto es más o menos el mismo.

Para localizar una ciudad o lugar en el globo necesitamos un sistema de referencia. Esto viene dado por la latitud y la longitud. La latitud nos dice qué tan lejos estamos, en grados, del ecuador, mientras que la longitud especifica la distancia, en grados, desde el meridiano de Greenwich.

ancho_y_largo

La pregunta en este punto es: ¿por qué usamos este sistema en lugar del conocido y más conveniente sistema cartesiano?

Ve lo spiego.

Imagina que el centro de la Tierra fuera nuestro origen de los ejes y que la Tierra fuera exactamente esférica, de radio R. Fijamos el punto Z, el polo norte. Luego dibujamos el punto X como la intersección entre el meridiano de Greenwich y el ecuador y el punto Y como la intersección entre el meridiano a 90° Oeste y el ecuador. Uniendo el origen con Z, X e Y, obtenemos un sistema de referencia cartesiano.

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Coordenadas esféricas en una esfera. En este dibujo el ángulo theta no es la latitud sino que representa la colatitud, es decir (90 – latitud).

¿Podrías decir fácilmente cuáles son las coordenadas cartesianas de Roma? Obviamente, cualquier punto de la Tierra tendrá coordenadas cartesianas específicas, pero son bastante difíciles de encontrar. Y aquí los rincones nos facilitan la vida.

Coordenadas esféricas
Sabemos que Roma tiene una latitud y una longitud de aproximadamente 41,9 y 12,5 respectivamente. La unidad de medida para estos es obviamente el grado decimal. ¿Cómo sería en cambio en las coordenadas cartesianas que expresé anteriormente? Hice un cálculo aproximado…todavía considerando la Tierra como una esfera con radio R = 6371 km, las coordenadas de Roma serían (x,y,z) = (4626.26, 1023.84, 4255.83), todo en km. ¿Hermosa? En breve…!

De ahí la clara razón para expresar puntos en ángulos en lugar de puntos cartesianos. Y ahora sólo nos hemos referido a la esfera.

Para generalizar un poco, considerando junto con estos ángulos la distancia del punto al centro de los ejes, es decir, el centro de la Tierra en nuestro ejemplo, podemos describir cualquier punto en el espacio tridimensional.

coordsferiche
Cada punto en el espacio 3D está descrito por estas coordenadas

Este tipo de coordenadas se denominan esféricas. Para determinar un punto, con este tipo de referencia, es necesario especificar la distancia al origen (R), el ángulo de distancia al eje X (longitud,
) y el ángulo de elevación desde el plano (latitud,
), o la tríada (R,
,
).

Decir que Roma tiene coordenadas esféricas (6371 km, 41,9 grados, 12,5 grados) es ciertamente más elegante que (4629,6 km, 1026,36 km, 4254,76 km).

Para obtener la correspondencia, se pueden utilizar las fórmulas:
,
y
.

Revertirlos no es fácil, pero con un poco de trabajo puedes hacerlo.

Aplicaciones de coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas se aplican en muchos contextos. Además de geografía, aparecen en astronomía y mecánica celeste. De hecho, a pesar de la dificultad inicial y la intuición, resultan bastante naturales.

Además, en el modelado 3D de amplificadores, antenas de radio y todos los objetos que interactúan con las ondas, estas coordenadas simplifican la descripción de los patrones de salida o radiación.

Pero no termina ahí. Por ejemplo, por ejemplo, se usa en el desarrollo de videojuegos para rotar objetos de acuerdo con la rotación física de los personajes del juego.

Entonces, esto se usa en casi todos los campos matemáticos. Las ecuaciones de Laplace y Helmholtz son ecuaciones diferenciales parciales en las que las coordenadas esféricas simplifican el problema, por ejemplo, al permitir la definición de armónicos esféricos.

Las matrices de rotación se describen simplemente por este tipo de coordenadas.

La ecuación de la esfera de radio 5 va de
a
en coordenadas esféricas, simplificación evidente.

Conclusión
Te hablé de las coordenadas esféricas, algo que siempre tuviste en mente pero quizás nadie te había hablado nunca… ¡casi inquietante!